Tehtävä 4.4. Määrää pienin positiivinen kokonaisluku siten, että .

Ratkaisu

Ratkaisutapa I. Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio, joten sille pätee symmetrisyys eli nyt (ks. kurssikirjan s. 34).

Ratkaistaan m laskemalla avuksi alkion 7 pienempiä potensseja (mod 11):

Siispä .

Ratkaisutapa II. Ilmoitetaan eksponentti 25 ensin luvun 2 potenssien summana. Koska , niin . Näin ollen . Lasketaan potensseja ja kongruensseja käyttäen neliöönkorotusmenettelyä:

Nyt . Vastaus: .

Lisätietoja. Usein pääsee hiukan vähemmällä työllä, jos esittää kongruenssissa esiintyvät alkiot itseisarvoltaan mahdollisimman pienen luvun avulla. Se voi siis olla myös negatiivinen. Jos esimerkiksi tehtävän ensimmäisessä ratkaisutavassa olisi ensin laskettu ja yritetty tämän jälkeen etsiä joku pieni luku, jonka kanssa tuo luku on kongruentti modulo 11, olisi tehtävä mennyt vaikeammaksi ja lisäksi apuna olisi tarvittu laskinta. Koska 10 on kuitenkin kongruentti alkion −1 kanssa modulo 11, voidaan kirjoittaa kuten yllä ja saada yksinkertainen viidenteen potenssiin korotus. Lopuksi siirrytään takaisin välillä 0−10 olevaan ekvivalenssiluokan edustajaan.

[Opiskelutehtäviä 4]