.
.
Olkoon lauseet
P
= "Kokonaisluku
p
on alkuluku, 
" ja
Q
= "
p
on muotoa 
". Nyt on todistettava, että 
.
Todistusta ei kuitenkaan voida tehdä suoraan, sillä alkulukuja on äärettömän paljon eikä kaikkia alkulukuja tunneta tai edes osata kuvata minkään kaavan avulla.
Suoran todistuksen sijaan täytyy keksiä joku toinen lähestymistapa. Logiikan sääntöjen mukaan 
.
Koetetaan käyttää jälkimmäistä muotoa eli käänteistä suoraa todistusta (ks. kurssikirjan s. 9, Lause 2.4). Täytyisi siis osoittaa, että jos luku
p
ei ole lauseessa
Q
esitettyä muotoa, niin tällöin
p
ei missään tapauksessa voi olla alkuluku.
Todistus tehdään seuraavasti: mikä tahansa kokonaisluku
p
voidaan ilmoittaa jakoyhtälön avulla mm. muodossa 
.
Vaihtoehtoisia esityksiä on jakojäännöksen mukaan luokiteltuna kuusi kappaletta. Näistä esitykset 
ja 
ovat väitteen
Q
muotoisia. Muunlaisia muotoja on siten neljä. Käydään ne läpi:
1° Kun 
,
on 
jaollinen luvulla 6.
2° Kun 
,
on 
jaollinen luvulla 2.
3° Kun 
,
on 
jaollinen luvulla 3.
4° Kun 
,
on 
jaollinen luvulla 2.
Nämä ovat siten kaikki yhdistettyjä lukuja. Näin ollen, jotta
p
olisi alkuluku, täytyy sen olla muotoa 
.
Huomautus.
Kaikki tätä muotoa olevat luvut eivät kuitenkaan ole alkulukuja. Esim. luvulle 
on 
jaollinen viitosella. Tässä siis havainnollistuu erittäin hyvin se, että implikaatiota ei saa automaattisesti "kääntää" tai lukea toisinpäin kuin se on kirjoitettu: Nimittäin siitä, että
p
on alkuluku, seuraa että se on yllä esitettyä muotoa, mutta siitä että luku on yllä esitettyä muotoa, ei välttämättä seuraa että se olisi alkuluku. Vaikka siis 
pätee, ei välttämättä päde 
eli 
.
• Prime number research, records and resources: http://primes.utm.edu/
• Patterns in primes: http://www.geocities.com/~harveyh/primes.htm
• Prime number: http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
• Twin primes: http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html
• The 1000 smallest primes: http://www.math.utah.edu/~pa/math/primelist.html