Tehtävä 3.3. Osoita, että jos luku ei ole alkuluku, niin sillä on tekijänä jokin alkuluku , jolle .

Ratkaisu

Ratkaisutapa I. Kun n ei ole alkuluku, on se yhdistetty luku ja tällöin olemassa sellaiset kokonaisluvut r ja s, että ja (jolloin myös ). Voidaan olettaa, että r on pienempi tai yhtä suuri kuin s, ts. . Luku r on joko itse alkuluku tai sillä on pienempi alkutekijä. Valitaan tämä alkuluku tai alkutekijä luvuksi p. Nyt ja , joten myös . Koska joko tai , niin . Toisaalta , joten . Näin on saatu että .

Ratkaisutapa II. Aritmetiikan peruslauseen (4.4.) nojalla yhdistetylle luvulle n on olemassa esitys alkulukujen tulona:

, missä kaikilla indekseillä i ( ).

Koska n ei ole alkuluku, on sen alkutekijäesityksessä oltava vähintään kaksi alkulukua (eri suurta tai yhtä suurta). Merkitään ja . Nyt , sillä s sisältää vähintään yhden alkutekijän, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin luku p. Lisäksi , joten , mikä todistaa väitteen.

[Opiskelutehtäviä 3]