Tehtävä 2.2. Osoita, että , kun .

Ratkaisu

Olkoon väite, että luonnollisella luvulla n pätee , kun . Tehdään todistus matemaattisella induktiolla.

1° Kun , on , joten pätee.

2° Induktio-oletus: pätee eli ja .

3° Induktioväite: pätee eli .

4° Induktiotodistus: Tämä epäyhtälötodistus, kuten epäyhtälötodistukset hyvin usein, voidaan tehdä lähtemällä liikkeelle väitetyn epäyhtälön jommasta kummasta puolesta ja pyrkimällä arvioimaan epäyhtälöä sopivasti ylös- tai alaspäin, siitä riippuen kummasta puolesta aloitettiin. Varo muokkaamasta koko epäyhtälöä, sillä vaikka muokkauksen tuloksena päädyttäisiinkin tosiasiaan, ei se osoita lähtötilanteesta mitään.

Ratkaisutapa I. Aloittamalla induktioväitteen epäyhtälön vasemmasta puolesta saadaan, että . Halutaan osoittaa, että . Koska tämän epäyhtälön oikea puoli voidaan kirjoittaa muodossa

ja koska induktio-oletuksen mukaan , riittää osoittaa, että . Kun , pitää tämä paikkaansa, sillä tällöin .

Ratkaisutapa II. Aloitetaan nyt induktioväitteen epäyhtälön oikeasta puolesta, jolloin saadaan, että

.

Täytyy osoittaa, että . Koska induktio-oletuksen mukaan , riittää osoittaa, että . Koska , pitää tämä väite selvästi paikkaansa, sillä . Täten väite on todistettu.

Lisätietoja. Tehtävä voitaisiin ratkaista myös muuten kuin matemaattisella induktiolla − käyttäen esimerkiksi koulusta ehkä tutumpaa lähestymistapaa. Tarkastellaan alkuperäisen väitteen epäyhtälöä reaalilukualueella, ja käytetään siksi muuttujan n sijasta muuttujaa x. Olkoon väite, jonka mukaan . Tämä väite voidaan kirjoittaa myös muodossa .

Havaitaan, että saadun epäyhtälön oikea puoli on toisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli (paraabeli on ylöspäin aukeava, sillä polynomin toisen asteen termin kerroin on positiivinen). Kuvaaja on siis seuraavantyyppinen

Polynomi on arvoltaan nolla niillä muuttujan arvoilla, joilla sen kuvaaja leikkaa x -askelin ja negatiivinen nollakohtiensa välisillä muuttujan arvoilla.

Huomautus. Toisen asteen polynomilla voi olla nolla, yksi tai kaksi nollakohtaa. Kukin paraabeli voi olla joko ylös- tai alaspäin aukeava riippuen termin kertoimen merkistä.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on ( ja ):

Etsitään nyt nollakohdat toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan avulla eli etsitään yhtälön ratkaisut:

Edellä olevaa polynomin yleiskuvaajaa hyödyntämällä nollakohdat näkyvät seuraavassa kuvassa:

Koska tehtävän ehtojen mukaan alkuperäinen muuttuja n on positiivinen, voidaan ratkaisualue jättää huomiotta. Siten jää jäljelle alue . Koska tehtävää oltiin ratkaisemassa vain kokonaisluvuille, havaitaan, että väite pätee kaikilla .

Lisätietoja. Haluttaessa tarkastelua voisi vielä tarkentaa osoittamalla, että paraabelin derivaatta on positiivinen kun ja siis myös kun , jolloin paraabeli on aina aidosti kasvava eikä siten voi enää saada negatiivisia arvoja millään .

Koska väite pätee kaikilla , pätee myös väite kaikilla , sillä , ja .

Huomautus. Mikäli toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alle jäävä lauseke ( diskriminantti ) on negatiivinen, ei kyseisellä toisen asteen yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua. Jos diskriminantti on nolla, on yhtälöllä tasan yksi reaalilukuratkaisu, ja jos diskriminantti on positiivinen, on reaalilukuratkaisuja kaksi.

[Opiskelutehtäviä 2]