Tehtävä 2.1. Tarkastele summia , , jne. Päättele yleinen sääntö, joka ilmoittaisi, mikä tällaisen summan tulokseksi tulisi. Osoita se oikeaksi. Mikä on siten summan tulos?

Ratkaisu

Taulukoidaan summalausekkeita ja yritetään tämän avulla havaita säännönmukaisuuksia.

Näyttäisi siltä, että lausekkeissa lasketaan yhteen kakkosen potensseja. Täydennetään taulukkoa näiden havaintojen perusteella. ( kaikilla nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla x. Lausekkeelle ei aina määritellä arvoa, tai jos määritellään, se määritellään ykköseksi.)

Ensimmäisellä rivillä viimeinen summattava kakkosen potenssi on , toisella rivillä , kolmannella ja niin edelleen. Siten rivillä n viimeinen kakkosen potenssi on varmaankin .

Lasketaan seuraavaksi summalausekkeiden arvot ja pyritään havainnoimaan tilanteesta jotain uutta.

Näyttäisi siltä, että kunkin summalausekkeen arvo on aina yhden pienempi kuin seuraavan rivin summalausekkeen viimeinen luku. Kirjoitetaan nyt lausekkeiden arvot tämän oletuksen avulla:

Ilmeisesti rivillä n summalausekkeen arvo on ja taulukon n :s rivi on näin ollen:

Todistetaan nyt matemaattisella induktiolla edellä muotoiltu oletus n. rivin summalausekkeen muodosta. Olkoon luonnollista lukua n koskeva väite, jonka mukaan

.

Todistus :

1° Kun , niin , joten pätee.

2° Induktio-oletus: pätee, eli .

3° Induktioväite: pätee, ts.

.

4° Induktiotodistus: Kirjoitetaan induktioväitteen vasen puoli auki ja muokataan sitä. Tarkoituksena on saada yhtälön vasemman puolen lauseke kirjoitettua induktioväitteen yhtälön oikea puolen muotoon induktio-oletusta hyödyntämällä.

Väite pätee siis kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n. Näin ollen summan arvo, kun , on

.

• Antti Käenmäki: Johdatus matematiikkaan, luentomuistiinpanot 2005: http://www.math.jyu.fi/~antakae/opetus/materiaali/johdatus.pdf

• Tuomas Airaksinen: Johdatus matematiikkaan, luentomuistiinpanot: http://people.jyu.fi/~tuma/home/files/docs/johdmat.pdf

[Opiskelutehtäviä 2]