Tehtävä 1.5. Olkoot , ja saman perusjoukon osajoukkoja. Osoita oikeaksi ns. osittelulaki

.

Ratkaisu

Ratkaisutapa I. Osoitetaan väite todeksi Vennin kuvion avulla. Kuvassa vasemmalla on , oikealla .

Vasemman kuvion tuplaviivoitettu alue ja oikean puolen viivoitettu alue ovat samat kuten väitettiinkin.

• Venn diagrams: http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram

Ratkaisutapa II. Joukko-opillinen todistus tehdään seuraavasti. Todistuksen merkintöjen lyhentämiseksi merkitään ja . Väite on, että . Todistetaan se kahdessa osassa osoittamalla, että kyseiset joukot ovat toistensa osajoukkoja eli että mikä tahansa alkio, joka kuuluu yhteen näistä joukoista, kuuluu myös toiseen.

Osoitetaan ensin, että . Olkoon mielivaltainen. Täytyy osoittaa, että . Koska , seuraa tästä, että ja . Edelleen pätee, että ja lisäksi tai . Nyt edellisen nojalla joko tai , joten .

Osoitetaan sitten, että . Olkoon mielivaltainen. Täytyy osoittaa, että . Koska , seuraa tästä että tai . Näin ollen pätee varmasti, että ja lisäksi tai , joten ja edelleen .

Koska nyt on osoitettu, että ja , seuraa tästä, että eli .

[Opiskelutehtäviä 1]