Tehtävä 1.3. a) Osoita, että seuraavat lauseet ovat loogisesti ekvivalentit:

, ja .

Voit tehdä sen totuustaulukoin tai käyttäen johdettuja muokkaussääntöjä.

b) Tunnista ensin, mitä a)-kohdan kolmesta muodosta lause "Jaoton kokonaisluku on pariton tai kakkonen" vastaisi. Käyttäen sitten ekvivalentteja muotoja lausu tämä väite kahdella muulla tavalla.

Ratkaisu

a) Todistus totuustaulun avulla:

Todistus kurssikirjan sivun 8 esimerkkiä I.2.2. ja lausetta I.2.3. hyödyntäen:

Kaikki kolme lauseketta sieventyvät siis samaksi ekvivalentiksi lausekkeeksi, joten ne ovat keskenään loogisesti ekvivalentit.

b) "Jaoton kokonaisluku on pariton tai kakkonen" voidaan muuttaa muotoon "Jos kokonaisluku on jaoton, se on pariton tai kakkonen." Väitettä vastaa näin ollen lause , missä P tarkoittaa väitettä "luku on jaoton kokonaisluku", Q väitettä "luku on pariton (kokonaisluku)" ja R väitettä "luku on kakkonen".

Sama asia voidaan a)-kohdassa todetun ekvivalenttiuden nojalla lausua sanallisesti myös näissä kahdessa muodossa:

: "Jaoton ja parillinen kokonaisluku on kakkonen." tai "Jos kokonaisluku on jaoton ja ei-pariton (siis parillinen), niin se on kakkonen."

: "Jaoton kokonaisluku, joka ei ole kakkonen, on pariton." tai "Jos kokonaisluku on jaoton ja se ei ole kakkonen, niin sen täytyy olla pariton."

[Opiskelutehtäviä 1]