Tehtävä 6.5. a) Yhdistä tetraedrin vierekkäisten tahkojen keskipisteet janoilla. Mikä monitahokas saadaan, kun nämä saadut janat ajatellaan sen särmiksi?

b) Tee sama kuutiolle ja oktaedrille. Mitä voit tämän perusteella sanoa näiden kierto- ja symmetriaryhmistä?

Ratkaisu

a) Annettujen ehtojen mukaan tetraedrin sisälle muodostuu säännöllinen monitahokas, jossa on neljä kärkeä, joten se on tetraedri (ylösalaisin alkuperäiseen nähden).

b) Kuution sisälle muodostuu säännöllinen monitahokas, jossa on yhtä monta kärkeä kuin kuutiossa on tahkoja eli 6 kpl ja yhtä monta tahkoa kuin kuutiossa on kärkiä eli 8 kpl. Kuution sisälle muodostuu siten oktaedri.

Vastaavasti oktaedrin sisälle muodostuu kuutio.

Lisätietoja. Kuutio ja oktaedri ovat toistensa duaalikappaleita eli ensimmäisen sisään muodostuu tehtäväannon ehdoilla jälkimmäinen ja päinvastoin. Tetraedri on duaalinen itsensä kanssa. Lisäksi dodekaedri ja ikosaedri ovat toistensa duaalikappaleita. Duaalikappaleparien kierto- ja symmetriaryhmät ovat selvästi samat, sillä toisen kiertäminen tai peilaaminen kiertää tai peilaa toisen vastaavasti.

• Dual polyhedron: http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_polyhedron

• Duality: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/duality.html

• Self-dual polyhedron: http://en.wikipedia.org/wiki/Self-dual_polyhedron

[Opiskelutehtäviä 6]