Tehtävä 6.1. Kuvaa kaikki kuution erilaiset kiertosymmetriat. Valitse erilaisia kiertoakseleita ja selvitä kunkin kohdalla, millaisia uusia asentoja saat kuutiolle. Montako tällaista symmetriakuvausta saat yhteensä?

Ratkaisu

Kuutiolla on oleellisesti kolmenlaisia kiertoakseleita: vastakkaisten tahkojen keskipisteiden läpi kulkevat, ristikkäisten särmien keskipisteiden kautta kulkevat sekä avaruuslävistäjien kärkipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit.

i) Tahkojen keskipisteiden läpi kulkevat kiertoakselit: tahkopareja on kolme ja kullekin tahkoparille kiertoja on identtisen lisäksi kolme, sillä pienin kierto on 90 astetta. Lähtöasennon lisäksi uusia symmetriakuvauksia saadaan kappaletta.

ii) Särmien keskipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit: särmäpareja on kuusi ja kiertoja kullekin tällaiselle kiertoakselille on identtisen kuvauksen lisäksi yksi kierron ollessa 180 astetta. Uusia symmetriakuvauksia saadaan kappaletta.

iii) Avaruuslävistäjien kärkipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit: kärkipareja on neljä, pienimmän kierron ollessa 120 astetta. Uusia symmetriakuvauksia muodostuu kappaletta.

Yhteensä kuutiolla on kiertosymmetriakuvauksia identtinen kuvaus mukaan lukien kappaletta.

• Symmetria: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry

• Point group symmetry (mm. kemiaa): http://www.phys.ncl.ac.uk/staff/njpg/symmetry/

• Types of symmetry: http://mathforum.org/sum95/suzanne/symsusan.html

[Opiskelutehtäviä 6]