Lineaarikuvauksen matriisi

Tarkastellaan ensin johdatteluna yksinkertaista esimerkkiä. Olkoon

tason lineaarikuvaus, jolle

on ns.

- matriisi ja oikeanpuoleinen tulo lasketaan auki 'kertomalla rivillä sarake'.

Tässä siis matriisi on sellainen taulukko, jossa lineaarikuvauksen määräämät kertoimet ovat sillä tavalla taulukoituina, että

Olkoon

jokin avaruuden

kanta ja

jokin avaruuden

kanta sekä olkoot kuvavektorien

koordinaattiesitykset seuraavat:

Tätä taulukkoa sanotaan tyyppiä

olevaksi matriisiksi tai

- matriisiksi, jossa on siis

riviä ja

saraketta. Yleisiä indeksejä käyttäen lyhennetään taulukko muotoon

, missä ensimmäinen indeksi

ilmaisee rivinumeron ja toinen indeksi

sarakenumeron muuttumisen.

Lineaarikuvaukseen

liitetään siis eräistä koordinaateista muodostettu matriisi

. Yllä oleva päättely voidaan tehdä myös kääntäen: luvuista muodostuvasta matriisista

lähtien voidaan määritellä yllä esitettyyn tapaan yksikäsitteisesti lineaarikuvaus

. Lineaarikuvaukset ja matriisit vastaavat siten yksikäsitteisesti toisiaan. Tämä pitää tosin paikkansa vain niin kauan kuin vastaavuudessa käytetyt kannat pidetään samoina. Ellei muuta mainita, käytetään kantoina luonnollisia kantoja. Kantojen vaihdon vaikutuksia tähän vastaavuuteen selvitetään luvussa 9.

Yllä muodostettu taulukko

on lineaarikuvausta

kannoissa

vastaava matriisi. Samalla tulee määriteltyä se, mitä tarkoitetaan matriisin ja vektorin tulolla. Merkitään matriisin riippuvuus lineaarikuvauksesta näkyviin seuraavasti

(tai tarvittaessa tarkemmin

, mikäli kantariippuvuudet halutaan jostain syystä tuoda esiin). Matriisi

muodostetaan siis sijoittamalla kantavektoreiden

kuvien

koordinaatit sen sarakkeiksi:

Lause 7.1.

(a) Jokaista lineaarikuvausta vastaa yksi matriisi - ja kääntäen.

(b) Lineaarikuvauksen lausekkeet (yllä ) ovat muuttujien (yllä ) muodollisia lineaarikombinaatioita. Kääntäen tällä tavalla saadaan aina lineaarikuvaus määriteltyä.

(c) Lineaarisesta yhtälöryhmästä voidaan muodostaa yllä olevan mukaisesti matriisiesitys ja siitä edelleen lineaarikuvaus. Lineaarikuvaus, matriisi ja yhtälöryhmä ovat siis saman asian eri ilmentymiä.

Esimerkki 7.2.

(a) Kuvaus , jolle , on lineaarinen jo sillä perusteella, että lausekkeet , ja ovat muuttujien ja lineaarikombinaatioita. Tälle kuvaukselle on

joten sitä vastaa (luonnollisissa kannoissa) -matriisi

(b) Myös kuvaus , jolle , on lausekkeiden lineaarisuuden perusteella lineaarinen ja sille

joten kuvausta vastaa (luonnollisissa kannoissa) -matriisi

Opiskelutehtävä 23

Opiskelutehtävässä 16 todettiin, että , on lineaarinen. Miten voisit nähdä lineaarisuuden nopeammin?

Vinkki tehtävään 23

Jatkossa samastetaan usein vektori ja sen komponenteista muodostettu yksisarakkeinen matriisi:

Tällöin voidaan kirjoittaa, että , kun on lineaarikuvausta vastaava matriisi. Samoin voidaan tulossa puhua matriisin kohdistamisesta tai soveltamisesta vektoriin aivan kuin kuvauksillekin. Huomaa, että mikäli tällaisissa tilanteissa matriisilla kertominen kohdistuu yhtä muuttujaa isompaan lausekkeeseen, sarakevektorin ympärillä joudutaan käyttämään sulkeita. Esimerkiksi lausekkeessa matriisilla kertominen kohdistuu vain vektoriin , mutta merkinnässä se kohdistuu vektorisummaan .