Differentiaalilaskennan väliarvolause

Kun Rollen lauseessa luovutaan ehdosta, jonka mukaan päätepistearvot ovat samat, saadaan yleisemmin seuraava tulos, jonka mukaan kuvaajalla on jossain välipisteessä sellainen tangentti, että sen kaltevuus on sama kuin kuvaajan päätepisteet yhdistävällä sekantilla.

Lause 4.1.3. (Differentiaalilaskennan väliarvolause (DVAL))

Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä ja derivoituva avoimella välillä , niin avoimella välillä on piste , jolle

.

Todistus. Suljetulla välillä jatkuvalle ja vastaavalla avoimella välillä derivoituvalle funktiolle

on , joten Rollen lauseen mukaan on jollekin . Silloin

mistä näkyy väitetty tulos.

Differentiaalilaskennan väliarvolausetta kutsutaan myös Lagrangen väliarvolauseeksi. Sekä Rollen lause että väliarvolause osoittavat vain halutunlaisen välipisteen olemassaolon. Sen määräämiseen ne eivät anna yleistä keinoa. Siihen palataan ääriarvoteorian yhteydessä pykälässä Ääriarvot ja paikalliset ääriarvot.

Esimerkki 4.1.4.

Tarkastellaan jatkuvaa funktiota välillä . Se on vastaavalla avoimella välillä derivoituva ja

Differentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset ovat siten voimassa. Sen mukaisesti on olemassa piste , jolle

Koska funktion derivaatta tiedetään, voidaan piste tässä tapauksessa määrätä: yhtälöstä nähdään, että . Pisteessä on siten kuvaajan tangentti, jonka yhtälö on , saman suuntainen kuin pisteiden ja kautta kulkeva sekantti, joka on osa suoraa . Katso kuvaa 39.

Kuva 39.

Opiskelutehtävä 22. (Differentiaalilaskennan väliarvolause)

Tutki, toteuttaako funktio

differentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset välillä . Myönteisessä tapauksessa määrää jokin halutunlainen välipiste. Piirrä kuva!

Vinkki tehtävään 22

Esimerkki 4.1.5.

Oletetaan, että funktiosta tiedetään, että , ja että välillä pätee . Pyritään arvioimaan arvoa sekä alhaalta että ylhäältä.

Tarkastellaan tilannetta ensin välin loppupisteestä päin. Differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan jollekin on

eli

.

Koska , on . Toisaalta , joten . Siten .

Arvioidaan arvoa vastaavasti välin alkupisteestä lähtien. Väliarvolauseen mukaan jollekin on nyt

eli

.

Ehdosta saadaan arvio ja ehdosta saadaan arvio . Siten .

Saadut arviot yhdistämällä saadaan tulokseksi arvio .

Väliarvolauseen avulla saadaan seuraava tulos, joka voi helpottaa toispuoleisten derivaattojen määräämistä välien reunapisteissä. Lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi (tehtävä 127).

Lause 4.1.6.

Oletetaan, että funktio on jatkuva suljetulla välillä , derivoituva avoimella välillä ja että derivaattakuvauksella on pisteessä op. raja-arvona luku . Tällöin funktiolla on pisteessä op. derivaatta . Vastaava tulos pätee vasemmanpuoleiselle derivaatoille.

Seuraava lause on väliarvolauseen yleistys rationaalilausekkeille.

Lause 4.1.7. (Yleistetty differentiaalilaskennan väliarvolause)

Olkoot funktiot ja jatkuvia suljetulla välillä ja derivoituvia avoimella välillä . Jos lisäksi sekä derivaatat ja eivät ole missään pisteessä yhtaikaa nollia, niin avoimella välillä on piste , jolle

Todistus. Väite osoitetaan samaan tapaan kuin tavallinen väliarvolause tarkastelemalla nyt vain funktiota

.

Yksityiskohtainen todistus sivuutetaan tässä.

Yleistettyä differentiaalilaskennan väliarvolausetta kutsutaan myös Cauchyn väliarvolauseeksi.