Rollen lause derivaatan nollakohdasta

Osoitetaan ensin, että jos derivoituva funktio saa välin päätepisteissä yhtä suuret arvot, on sillä jossain kohtaa vaakasuora tangentti eli sen derivaatta on jossain pisteessä nolla.

Lause 4.1.1. (Rollen lause)

Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä , derivoituva avoimella välillä ja , niin avoimella välillä on piste , jolle .

Todistus. Jos funktio on vakio koko välillä , on sen derivaatta nolla koko välillä ja siten mikä tahansa sen piste kelpaa halutuksi pisteeksi .

Oletetaan sitten, että funktio saa välillä suurempia arvoja kuin päätepisteissä, ks. kuva 37. Weierstrassin lauseen mukaan on piste , jossa saa suurimman arvonsa. Oletuksen mukaan on derivoituva pisteessä . Osoitetaan, että .

Kuva 37.

Kun , niin ja siten . Jos lisäksi , on . Näin ollen derivaatalle saadaan arvio

Jos taas , on , ja siten derivaatalle saadaan nyt arvio

Näin ollen ja väitetty tilanne on saavutettu.

Tapaus, jossa saa välillä (vain) pienempiä arvoja kuin päätepisteissä, käsitellään vastaavasti.

Esimerkki 4.1.2.

Tarkastellaan funktiota , . Se on polynomina (kaikkialla) jatkuva ja derivoituva ja sille , joten Rollen lauseen oletukset ovat sille voimassa. Sen mukaan on olemassa piste , jolle . Tällainen piste pystytään nyt myös määräämään. Koska , niin yhtälöstä saadaan ratkaisuiksi

Molemmat ratkaisut ovat välillä , joten itse asiassa nyt on olemassa kaksi eri pistettä, jossa derivaatta on nolla. Katso kuvaa 38.

Kuva 38.