Differentiaalikehitelmä

Tarkastellaan lähemmin funktion kuvaajan approksimointia sen tangenteilla. Oletetaan, että funktio on derivoituva pisteessä , jolloin määritelmän mukaan

Tämä voidaan kirjoittaa muotoon

Merkitsemällä sulkeiden sisällä olevaa lauseketta muuttujasta riippuvalla funktiolla , ts.

saadaan kaava

,

jossa siis . Kun sovitaan lisäksi, että , on saatu osoitettua toinen puoli seuraavasta tuloksesta.

Lause 3.2.1.

Funktio on derivoituva pisteessä täsmälleen silloin, kun sillä on siinä pisteessä differentiaalikehitelmä

,

missä ja . Tällaisessa tapauksessa .

Todistus. Differentiaalikehitelmän olemassaolo pisteessä derivoituvalle funktiolle tuli edellä perusteltua. Oletetaan nyt, että kyseinen kehitelmä on olemassa, ja osoitetaan, että funktio on derivoituva pisteessä . Kehitelmän olemassaolosta seuraa, että erotusosamäärä on muotoa

Tämän raja-arvoksi, kun , nähdään tästä luku . Niinpä funktio on derivoituva pisteessä ja .

Esimerkki 3.2.2.

Määrätään funktiolle differentiaalikehitelmiä eri pisteissä. Tarkastellaan ensin pistettä . Silloin

ja näin ollen

Tästä nähdään, että luku ja lauseke toteuttavat differentiaalikehitelmän vaatimukset. Siten .

Yleisesti pisteessä saadaan vastaavasti

ja

Tästä nähdään, että luku ja lauseke toteuttavat nyt differentiaalikehitelmän vaatimukset ja siten .

Differentiaalikehitelmän avulla voidaan periaatteessa määrätä funktion derivaatta. Tämä ei ole kuitenkaan yleisesti käytännöllistä, vaan seuraavassa pykälässä ja myöhemminkin johdamme parempia menetelmiä derivaatan määräämiseen.

Opiskelutehtävä 19. (Differentiaalikehitelmä)

Tarkastellaan funktiota .

(a)  Muodosta funktion differentiaalikehitelmä pisteessä . Mitkä ovat tällöin luku ja funktio ?

(b)  Muodosta funktion differentiaalikehitelmä yleisessä pisteessä . Mitkä ovat tällöin luku ja funktio ?

(c)  Mitkä ovat differentiaalikehitelmän perusteella funktion derivaatat pisteissä 1 ja ?

Vinkki tehtävään 19