Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Seuraavassa Bolzanon lause yleistetään koskemaan muitakin "väliarvoja" kuin nollaa.

Lause 2.4.3. (Jatkuvien funktioiden väliarvolause (JVAL))

Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä ja luku on arvojen ja välissä, saa se avoimella välillä arvon , ts. on olemassa piste , jolle .

Todistus. Tarkastellaan funktiota (ks. kuva 31).

Kuva 31.

Se on jatkuva välillä ja sille arvot ja ovat oletuksen johdosta erimerkkiset. Siten se toteuttaa Bolzanon lauseen ehdot. On siis olemassa piste , jolle . Mutta silloinhan .

Seuraava tulos ei ole todistettavissa tämän esityksen tiedoin, joten se annetaan käyttöön ilman todistusta!

Lause 2.4.4. (Weierstrassin lause)

Suljetulla välillä jatkuva funktio saa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa, ts. on olemassa pisteet , joille

kaikilla .

Jatkuvien funktioiden väliarvolause huomioiden Weierstrassin lauseen sisältö voidaan lausua myös seuraavasti.

Lause 2.4.5.

Jatkuva funktio kuvaa suljetun välin suljetuksi väliksi.

Todistus. Weierstrassin lauseen merkinnöin on jatkuvien funktioiden väliarvolauseen perusteella , mikä ilmaiseekin väitteen oikeaksi.

Esimerkki 2.4.6.

Funktio on polynomina kaikkialla jatkuva funktio. Edellisen tuloksen mukaan esimerkiksi välin kuvajoukko on suljettu väli. Millainen se on?

Esimerkissä 2.4.2 on laskettu, että , , , , ja . Tämän mukaan kysytty kuvajoukko sisältää ainakin välin . Avoimeksi kysymykseksi jää kuitenkin tässä vaiheessa, voidaanko funktiolle löytää tällä välillä isompia tai pienempiä arvoja.

Opiskelutehtävä 16. (Funktion arvon saavuttaminen)

Osoita, että funktio saa arvon jossain pisteessä .

Vinkki tehtävään 16

Weierstrassin lause on pelkkä olemassaolotulos; se ei anna mitään keinoa minimi- ja maksimikohtien etsimiseen. Haarukoinnilla, kuten esimerkiksi välien puolittamisella, voidaan näitä kohtia approksimoida likimääräisesti. Luvussa Funktion käyttäytyminen todetaan jatkuvia funktioita säännöllisimmille funktioille toimivia menetelmiä ääriarvokohtien löytämiseksi. Geometrisesti tämä johtaa kuvaajan tangenttien selvittämiseen ja sitä kautta derivaatan käsitteeseen.