Bolzanon lause nollakohdasta

Jatkuvan funktion käyttäytymisestä suljetulla välillä voidaan tehdä useita päätelmiä. Sen kuvaajaa ajatellen on ilmeistä, että välin päätepisteissä saatujen arvojen lisäksi se saa kaikki niiden välillä olevat arvot. Edelleen ilmeistä on, että jos sillä on mitkä tahansa "isot" ja "pienet" arvot, se saa myös kaikki niiden väliset arvot. Entä, onko "isoista isointa" tai "pienistä pienintä" arvoa olemassa? Toisin sanoen, saako jatkuva funktio aina maksimiarvonsa ja minimiarvonsa? Seuraavassa tarkastelemme näitä kysymyksiä.

Ensimmäinen huomio on, että jos jatkuva funktio saa sekä positiivisen arvon että negatiivisen arvon, saa se myös arvon nolla.

Lause 2.4.1. (Bolzanon lause)

Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä ja sen arvot päätepisteissä ovat erimerkkiset, ts. , on sillä avoimella välillä nollakohta, ts. piste , jolle .

Todistus. Oletetaan, että ja , vastaavasti voidaan todistaa päinvastainen tapaus. Tarkastellaan joukkoa

.

Se ei ole tyhjä joukko, sillä ainakin luku sisältyy siihen, ja toisaalta se on ylhäältä rajoitettu luvulla . Täydellisyysaksiooman mukaan sillä on siten pienin yläraja; olkoon (ks. kuva 30).

Kuva 30.

Osoitetaan, että .

Kun , on , joten jatkuvuuden perusteella on

Jos olisi , olisi merkin säilyvyyden perusteella jollain välillä . Silloin olisi , mikä on ristiriita. On siis oltava , mikä osoittaakin lauseen väitteen oikeaksi.

On selvää, että Bolzanon lauseessa funktion jatkuvuus on olennaista: epäjatkuvan funktion kuvaaja voi "hypätä" vaaka-akselin yli. Bolzanon lause ilmaiseekin, että "jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiään käymättä nollan kautta". Lausetta voi soveltaa jatkuvalle funktiolle jokaisella suljetulla välillä, jolla se on määritelty kokonaan.

Esimerkki 2.4.2.

Tutkitaan funktion nollakohtia. Se on polynomina kaikkialla jatkuva funktio. Kokeillaan laskea funktion arvoja esimerkiksi kokonaislukupisteissä:

, , , , , .

Funktio vaihtaa siten merkkiään väleillä , ja . Vastaavilla avoimilla väleillä on siten nollakohta. Ainakin yksi kullakin. Lause ei kuitenkaan suoraan ilmaise, onko nollakohtia näillä väleillä yksi vai useampia. Viidennen asteen polynomillahan voi olla enimmillään viisi juurta.

Nollakohtien sijaintia voidaan kuitenkin tarkentaa haarukoinnilla eli jakamalla välejä pienempiin osiin. Voi vaikkapa puolittaa välin ja katsoa kummalla puolella funktion merkki muuttuu. Koska funktiolle on esimerkiksi , on nollakohta välin sijasta tarkemmin välillä .

Tarkasteltavan polynomifunktion nollakohdille ei ole määrättävissä tarkkoja lausekkeita, mutta likiarvoiset nollakohdat ovat , ja .