Rajatilanteita

Tarkastellaan ensin funktioiden , , ja käyttäytymistä nollan lähellä. Näistä sinifunktion kuvaaja (ks. kuva 22) on säännöllisen tuntuinen nollan lähellä

Kuva 22.

ja jos sitä tarkastellaan hyvin lähellä nollaa, se näyttää yhtyvän täysin funktioon (ks. kuva 23).

Kuva 23.

Funktiota ei ole määritelty nollassa, mutta näyttäisi, että kuvaaja lähestyy arvoa 1 (ks. kuva 24). Onko näin todella?

Kuva 24.

Funktiota ei myöskään ole määritelty nollassa ja sen kuvaaja on sitä "suttuisempi" mitä lähempänä nollaa sitä yritetään piirtää (ks. kuva 25).

Kuva 25.

Funktiota ei myöskään ole määritelty nollassa ja sen kuvaajalla on "hyppy" nollassa, ts. eri puolilta nollaa lähestyttäessä rajatulos näyttää olevan erilainen (ks. kuva 26).

Kuva 26.

Mitä näille funktioille todella tapahtuu nollan lähellä? Onko se totta, miltä kuvassa näyttää? Mitä lähestymisellä oikeastaan tarkoitetaan? On siis syytä määritellä tämä lähestyminen eli ns. rajankäynti tarkemmin.

Havainnollistus: Funktion raja-arvo − johdanto

Tarkastellaan vielä yhtä numeerista esimerkkiä.

Esimerkki 2.2.1.

Tarkastellaan funktion

arvoja pisteen lähellä (funktiotahan ei ole määritelty kyseisessä pisteessä). Lasketaan arvoja yhä lähempänä tätä pistettä:

Näyttää siltä, että lähestyttäessä pistettä kummalta puolelta tahansa funktion arvot lähestyisivät lukua 0,08333... . Olisiko raja-arvolle löydettävissä tarkka arvo? Mikä se olisi ja miten se löydettäisiin? Vastaus annetaan esimerkissä 2.2.14.

Seuraavassa määritellään, mitä edellä kuvatuilla lähestymisillä tarkasti ottaen tarkoitetaan.