[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]
Edelleen määritellään, että lukujono suppenee (eli konvergoi) kohti raja-arvoa
,
jos jokaiselle positiiviselle (pienelle) luvulle
on olemassa sellainen indeksi
,
että
(lim on lyhenne latinan sanasta limes) tai
Suppenemista varten ero olisi siis saatava lopullisesti mielivaltaisen pieneksi eli edeltä annettua arvoa
pienemmäksi. Vakiojonolle
,
missä
aina, kyseinen erotus on aina nolla, joten tällainen vakiojono suppenee kohti lukua
.
Määritelmästä näkyy, että lukujono suppenee lukua kohti täsmälleen silloin, kun sen itseisarvojono suppenee nollaan, ts.
Nollaa kohti suppenevia jonoja sanotaan myös nollajonoiksi. Yleisesti jono suppenee kohti raja-arvoa
täsmälleen silloin, kun jono
on nollajono.
Jono hajaantuu, jos se ei suppene mitään lukua kohti. Erityisesti se hajaantuu äärettömyyteen,
jos mille tahansa
on olemassa sellainen indeksi
,
että
aina, kun
. Tämä merkitään
Vastaavasti määritellään hajaantuminen kohti miinus-ääretöntä ,
ts. jono
hajaantuu miinus-äärettömyyteen,
jos mille tahansa
on olemassa sellainen indeksi
,
että
aina, kun
. Tämä merkitään
Huomaa, että jonon alkupään termit (äärelliseen määrään asti) eivät vaikuta jonon suppenemiseen tai hajaantumiseen.
(a) Jono on aidosti vähenevä jono ja se suppenee kohti lukua 0, sillä
,
kunhan
.
(b) Jono on aidosti kasvava jono ja suppenee kohti lukua 1, sillä
(c) Jono ei suppene, vaan hajaantuu.
(d) Jono on aidosti kasvava ja hajaantuu kohti ääretöntä.
Selvitetään suppeneeko jono ,
kun
. Koska
aina, on
Tästä näkyy, että jono suppenee kohti nollaa.
Reaalilukujen täydellisyysaksioomasta seuraa seuraava tulos.
Ylhäältä rajoitettu kasvava jono suppenee. Vastaavasti alhaalta rajoitettu vähenevä jono suppenee.
Todistus. Osoitetaan ylhäältä rajoitetun kasvavan jonon suppenevuus. Koska jonon alkioista muodostuva joukko on ylhäältä rajoitettu, on sillä supremum, olkoon se
. Olkoon luku
annettu. Silloin jollekin
on
,
sillä muutoin
ei olisi supremum. Koska jono on kasvava, on siten
aina, kun
. Tällöin myös
aina, kun
. Tämä osoittaa, paitsi suppenevuuden, myös sen, että raja-arvo on luku
.
Selvitetään suppeneeko jono ,
kun
. Merkintä
tarkoittaa
−kertomaa
(jolle sovitaan lisäksi, että
). Jonon
ensimmäiset termit ovat likimääräisesti
,
joten näyttäisi, että jono on kasvava. Tarkastellaan tarkemmin perättäisten termien erotusta
Huomataan, että kun ,
suluissa oleva erotus on negatiivinen ja siten myös koko erotus
. Näin ollen jono
on vähenevä indeksistä
alkaen. Jonon
jäsenet ovat aina positiivisia, joten jono on alhaalta rajoitettu nollalla. Edellisen lauseen perusteella jono
siis suppenee. Arvion
perusteella on ilmeistä, että tämän jonon raja-arvo on nolla. Tarkemmin tämä voidaan perustella funktioiden raja-arvoja käsittelevää kuristuslausetta 2.2.4 vastaavalla tuloksella jonoille tai vaihtoehtoisesti yleisen eksponenttifunktion käyttäytymisen avulla (ks. Eksponenttifunktio).
Opiskelutehtävä 11. (Lukujonon havainnollistus ja monotonisuus)
(a) Havainnollista jonoa kuvalla (sijoita koordinaattitasoon luvun
kohdalle arvo
).
(b) Onko jono kasvava, vähenevä, monotoninen, aidosti kasvava, aidosti vähenevä, aidosti monotoninen, ylhäältä rajoitettu, alhaalta rajoitettu vai peräti rajoitettu?
(c) Mitä raja-arvoa kohti jono suppenee? Perustele väitteesi lukujonon suppenemisen määritelmää käyttäen.
Opiskeluvideo: R1: Lukujonon raja-arvo