Lukujonon raja-arvo

Edelleen määritellään, että lukujono suppenee (eli konvergoi) kohti raja-arvoa , jos jokaiselle positiiviselle (pienelle) luvulle on olemassa sellainen indeksi , että

aina, kun .

Tätä merkitään

(lim on lyhenne latinan sanasta limes) tai

Suppenemista varten ero olisi siis saatava lopullisesti mielivaltaisen pieneksi eli edeltä annettua arvoa pienemmäksi. Vakiojonolle , missä aina, kyseinen erotus on aina nolla, joten tällainen vakiojono suppenee kohti lukua .

Määritelmästä näkyy, että lukujono suppenee lukua kohti täsmälleen silloin, kun sen itseisarvojono suppenee nollaan, ts.

,

jos ja vain jos

.

Nollaa kohti suppenevia jonoja sanotaan myös nollajonoiksi. Yleisesti jono suppenee kohti raja-arvoa täsmälleen silloin, kun jono on nollajono.

Jono hajaantuu, jos se ei suppene mitään lukua kohti. Erityisesti se hajaantuu äärettömyyteen, jos mille tahansa on olemassa sellainen indeksi , että aina, kun . Tämä merkitään

Vastaavasti määritellään hajaantuminen kohti miinus-ääretöntä , ts. jono hajaantuu miinus-äärettömyyteen, jos mille tahansa on olemassa sellainen indeksi , että aina, kun . Tämä merkitään

Huomaa, että jonon alkupään termit (äärelliseen määrään asti) eivät vaikuta jonon suppenemiseen tai hajaantumiseen.

Esimerkki 2.1.3.

(a)  Jono on aidosti vähenevä jono ja se suppenee kohti lukua 0, sillä , kunhan .

(b)  Jono on aidosti kasvava jono ja suppenee kohti lukua 1, sillä

(c)  Jono ei suppene, vaan hajaantuu.

(d)  Jono on aidosti kasvava ja hajaantuu kohti ääretöntä.

Esimerkki 2.1.4.

Selvitetään suppeneeko jono , kun . Koska aina, on

Tästä näkyy, että jono suppenee kohti nollaa.

Reaalilukujen täydellisyysaksioomasta seuraa seuraava tulos.

Lause 2.1.5.

Ylhäältä rajoitettu kasvava jono suppenee. Vastaavasti alhaalta rajoitettu vähenevä jono suppenee.

Todistus. Osoitetaan ylhäältä rajoitetun kasvavan jonon suppenevuus. Koska jonon alkioista muodostuva joukko on ylhäältä rajoitettu, on sillä supremum, olkoon se . Olkoon luku annettu. Silloin jollekin on , sillä muutoin ei olisi supremum. Koska jono on kasvava, on siten aina, kun . Tällöin myös aina, kun . Tämä osoittaa, paitsi suppenevuuden, myös sen, että raja-arvo on luku .

Esimerkki 2.1.6.

Selvitetään suppeneeko jono , kun . Merkintä tarkoittaa −kertomaa  (jolle sovitaan lisäksi, että ). Jonon ensimmäiset termit ovat likimääräisesti , joten näyttäisi, että jono on kasvava. Tarkastellaan tarkemmin perättäisten termien erotusta

Huomataan, että kun , suluissa oleva erotus on negatiivinen ja siten myös koko erotus . Näin ollen jono on vähenevä indeksistä alkaen. Jonon jäsenet ovat aina positiivisia, joten jono on alhaalta rajoitettu nollalla. Edellisen lauseen perusteella jono siis suppenee. Arvion

perusteella on ilmeistä, että tämän jonon raja-arvo on nolla. Tarkemmin tämä voidaan perustella funktioiden raja-arvoja käsittelevää kuristuslausetta 2.2.4 vastaavalla tuloksella jonoille tai vaihtoehtoisesti yleisen eksponenttifunktion käyttäytymisen avulla (ks. Eksponenttifunktio).

Opiskelutehtävä 11. (Lukujonon havainnollistus ja monotonisuus)

Tarkastellaan jonoa , missä

(a)  Havainnollista jonoa kuvalla (sijoita koordinaattitasoon luvun kohdalle arvo ).

(b)  Onko jono kasvava, vähenevä, monotoninen, aidosti kasvava, aidosti vähenevä, aidosti monotoninen, ylhäältä rajoitettu, alhaalta rajoitettu vai peräti rajoitettu?

(c)  Mitä raja-arvoa kohti jono suppenee? Perustele väitteesi lukujonon suppenemisen määritelmää käyttäen.

Vinkki tehtävään 11

Opiskeluvideo: R1: Lukujonon raja-arvo