Raja-arvon rationaaliset laskusäännöt

Jonon monikertajono , missä on vakio, tarkoittaa jonoa

.

Kahden jonon ja summajono on jono

ja erotusjono on jono

.

Vastaavasti näiden jonojen tulojono on jono

ja osamääräjono on jono

edellyttäen, että kaikki osamäärät ovat määriteltyjä ts. . Näiden jonojen suppenemisesta ilmaisee seuraava lause.

Lause 2.1.7. (Raja-arvojen rationaaliset laskusäännöt)

Jos jonot ja suppenevat, niin myös jonot (kaikilla luvuilla ), , ja (mikäli kyseiset osamäärät on määritelty ja ) suppenevat ja erityisesti

Todistus. Olkoot ja . Jos , on nollista muodostuva vakiojono ja suppenee siten kohti nollaa. Olkoon sitten . Jonon suppenevuuden perusteella on jokaiselle positiiviselle luvulle olemassa sellainen indeksi , että aina, kun . Silloin , joten erotus saadaan mielivaltaisen pieneksi. Tästä päätellään, että .

Todistetaan sitten summajonon raja-arvoa koskeva väite. Jonojen ja suppenevuuksien perusteella on jokaiselle positiiviselle luvulle olemassa sellainen indeksi , että ja aina, kun . Siten

Tämä osoittaa, että

kuten väitettiin.

Seuraavaksi todistetaan tulojonon raja-arvoa koskeva väite. Edellä olevin merkinnöin on

Tämä osoittaa, että

kuten väitettiin.

Vielä on todistettava osamäärän raja-arvoa koskeva väite. Tulon raja-arvoa hyväksi käyttäen riittää osoittaa, että jono suppenee ja että sen raja-arvo on . Edellä olevin merkinnöin on

Koska ja , on olemassa sellainen indeksi , että aina, kun . Silloin ja edelleen

kun . Tämä osoittaa, että

.

Esimerkki 2.1.8.

Tarkastellaan geometrisen jonon raja-arvoa. Tällaisessa jonossahan peräkkäisten termien suhde on vakio . Jos , on

kaikille luonnollisille luvuille , joten jono on alhaalta rajoitettu ja vähenevä. On siis olemassa raja-arvo

Tälle on

joten eli

(tämä pätee myös, jos ). Silloin myös

Jos , niin jonon termit ovat kaikki ykkösiä ja siten se on myös raja-arvo.

Jos , niin ja siten

Näin ollen

Kun sitten , jonon termien merkit vuorottelevat ja ovat itseisarvoltaan vähintään ykkösiä, joten jono ei voi supeta. Raja-arvoa ei siten ole olemassa.

Tulokseksi saatiin siten, että

Kuten pykälän alussa todettiin, jono on itse asiassa kuvaus , missä on jokin rajoittamaton peräkkäisten luonnollisten lukujen osajoukko. Kun seuraavassa pykälässä johdamme päättelysääntöjä yleensäkin funktioiden suppenemiselle, saamme siten samalla myös sääntöjä jonojen suppenemiselle.