Rationaali- ja reaalilukujen aksioomat

Rationaali- ja reaalilukujen perusominaisuudet eli aksioomat voidaan ryhmitellä yhteenlaskua, kertolaskua ja järjestystä koskeviin ominaisuuksiin. Seuraavissa ehdoissa esiintyvät luvut , ja ovat joko kaikki rationaalilukuja tai kaikki reaalilukuja.

I.  Yhteenlaskuominaisuudet, jotka sisältävät yhteenlaskua koskevat laskulait:

(a)  Vaihdannaisuus: .

(b)  Liitännäisyys: .

(c)  Luvun 0 ominaisuus: .

(d)  Vastaluvun olemassaolo: .

II.  Kertolaskuominaisuudet, jotka sisältävät kertolaskua koskevat laskulait:

(a)  Vaihdannaisuus: .

(b)  Liitännäisyys: .

(c)  Luvun 1 ominaisuus: .

(d)  Käänteisluvun olemassaolo: , kun .

(e)  Osittelulaki: .

III.  Järjestysominaisuudet, jotka määräytyvät positiivisuuden () perusteella:

(a)  Kolmijakoisuus: Luvulle on joko , tai (toistensa poissulkevasti).

(b)  Säilymislait: Kun ja , niin myös ja .

Opiskelutehtävä 3. (Käänteisluku)

Osoita, että luku on luvun käänteisluku.

Vinkki tehtävään 3

Lukujen ja erotus on ja vastaavasti osamäärä on , kun . Kertolaskussa ei yleisesti käytetä muuttujien yhteydessä pistettä, merkitään siis .

Yleinen järjestys määritellään asettamalla , kun . Luvut , joille , ovat negatiivisia. Merkintä tarkoittaa, että tai .

Edellä olevien aksioomien lisäksi reaaliluvuilla on yksi ominaisuus, jota ei rationaaliluvuille ole, nimittäin ns. täydellisyysominaisuus. Se muotoillaan kohdassa 1.3.11. Ennen sitä tarkastellaan seuraavassa tähän tarvittavia käsitteitä.