[Etusivu] [Sisältö] [Luku I II III IV V VI] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

Reaalifunktion kuvaaja

Reaalifunktion kuvaaja eli graafi on tason osajoukko

Funktion kuvaaja muodostuu siis niistä tason pisteistä , joiden vaakakoordinaatti on ja pystykoordinaatti on . Kuvaajaa sanotaan myös käyräksi (ks. kuva 10).

Kuva 10.

Funktion kuvaajan ja vaaka-akselin leikkauspisteet ovat funktion nollakohtia (kuvassa 10 pisteet ja ovat eräitä nollakohtia). Huomaa, että kuhunkin funktion määrittelyjoukon pisteeseen liitetään vain yksi arvo, joten mikään tason pystysuora ei saa leikata kuvaajaa kahdessa (tai useammassa) eri kohdassa. Vaakasuorat voivat kyllä leikata kuvaajaa useissakin pisteissä, sillä funktio voi saada samoja arvoja eri pisteissä.

Esimerkki 1.5.4.

Kuvassa 11 on kuvattuna osat käyristä , ja . Selvitä, mikä on mikin!

Kuva 11.

Esimerkki 1.5.5.

Oletetaan, että funktion kuvaajalta on määrätty pisteet , , , ja . Kuvaajalle on tämän perusteella tehty kuvassa kaksi hahmotelmaa, vasemmanpuoleinen "siisti" käyrä ja oikeanpuoleinen, jossa on paljon "mutkia". Mistä tiedämme, kumpi on oikeampi? Voimme tietenkin laskea lisäpisteitä kuvaajalta ja tarkentaa siten kuvaajan kulkua. Mutta tällä tavalla jää aina vierekkäisten laskentapisteiden väliin aukko, jossa kuvaajan kulku jää määräämättä. Miten tästä voidaan selvitä? Siihen tarvitaan juuri sitä funktion kulun selvittämisen analyysiä, jota jatkossa tulemme tekemään ja joka tulee antamaan luotettavuutta kuvaajan hahmottamiseen. Siihen tarvitsemme mm. funktion jatkuvuutta ja derivaattaa.

Kuva 12.

Esimerkki 1.5.6.

Funktio on määritelty, kun eli kun . Siten . Funktion kuvaaja on hahmoteltu kuvassa 13.

Kuva 13.

Olkoon lisäksi . Se on määritelty kaikkialla, ks. kuva 14.

Kuva 14.

Tällöin yhdistetty kuvaus on määritelty välillä ja

Yhdistetty kuvaus on taas määritelty silloin, kun eli kun , siis kaikkialla. Lisäksi

Edeltä näkyy, että jos funktion määrittelyalueeksi rajataan epänegatiiviset luvut eli väli , tulee siitä silloin funktion käänteisfunktio.

Jos kuvaukset on ilmoitettu lausekkeina, kuten edellisessä esimerkissä, on yhdistetty kuvaus määritelty niissä pisteissä , jotka ensinnäkin kuuluvat kuvauksen määrittelyjoukkoon ja toiseksi kuvautuvat kuvauksessa funktion määrittelyjoukkoon.