Tehtävän 22 ratkaisu

Differentiaalilaskennan väliarvolauseen (DVAL) oletuksena on, että funktio on jatkuva suljetulla välillä ja derivoituva vastaavalla avoimella välillä .

Funktio

on muuten selvästi jatkuva kyseisellä suljetulla välillä ja derivoituva vastaavalla avoimella välillä , mutta jatkuvuus ja derivoituvuus tulee vielä erikseen tutkia paloittaisen määrittelyn rajakohdassa (), sillä se sisältyy tarkasteltavalle välille. Koska

sekä , niin

Täten on jatkuva myös kohdassa . Lisäksi kohdassa funktion vasemmanpuoleinen derivaatta ja oikeanpuoleinen derivaatta ovat samat (jatkuvuuden takia toispuoleiset derivaatat voidaan määrätä derivaattojen raja-arvoina). Näin ollen on derivoituva myös kohdassa .

Täten DVAL:n oletukset toteutuvat ja sen mukaan on olemassa siten, että . Kohta saadaan ratkaistua seuraavasti:

Tästä saadaan, että .

Alla olevassa kuvassa on piirrettynä funktion kuvaaja välillä . Kuvan kolmesta suorasta keskimmäinen kulkee pisteiden ja kautta, alin suora vastaa kohdan arvoa ja ylin suora vastaa kohdan arvoa .

[Opiskelutehtävä 22] [Vinkki tehtävään 22]