Isojen ja pienten rationaalilukujen olemassaolo

Toteamme seuraavaksi, miksi on olemassa mielivaltaisen isoja kokonaislukuja ja mielivaltaisen pieniä positiivisia murtolukuja.

Lause 1.3.14. (Arkhimedeen laki)

Kaikille positiivisille reaaliluvuille ja on olemassa sellainen luonnollinen luku , että .

Todistus. Oletetaan, että vaadittua luonnollista lukua ei ole olemassa. Silloin kaikilla luonnollisilla luvuilla, joten joukko on ylhäältä rajoitettu. Joukolla on näin ollen pienin yläraja . Jos jokaiseen joukon lukuun lisätään luku , niin näin saadulle joukolle ovat sen ylärajat luvun verran suurempia kuin joukon ylärajat. Siten myös . Toisaalta joukossa on nollaa lukuunottamatta samat luvut kuin joukossa , joten on joukon osajoukko. Siten ilman muuta . On saatu ristiriitainen tilanne , joten vastaoletuksemme ei voi päteä, vaan haluttu luku täytyy olla olemassa.

Arkhimedeen lauseella on seuraavat kaksi yksinkertaisen ja selvän tuntuista tosiasiaa. Ne ovat kuitenkin tärkeitä huomioita niitä tilanteita varten, joissa joudutaan tarkastelemaan oikein suuria tai oikein pieniä positiivisia lukuja.

Seuraus 1.3.15.

(a)  Luonnollisten lukujen joukko ei ole ylhäältä rajoitettu, ts. jokaiselle reaaliluvulle on olemassa luonnollinen luku , jolle .

(b)  Jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle on olemassa sellainen luonnollinen luku , että .

Todistus. Kohta (a) seuraa Arkhimedeen laista valitsemalla ja kohta (b) seuraa samasta laista valitsemalla vuorostaan .

Esimerkki 1.3.16.

Tarkastellaan joukkoa

Ensinnäkin voidaan huomata, että luvusta alkaen luvut ovat positiivisia, joten on joukon pienin luku ja samalla sen infimum.

Onko ylhäältä rajoitettu? Koska

on luku 2 joukon eräs yläraja. Se on siten ylhäältä rajoitettu joukko.

Onko joukolla pienintä ylärajaa? Koska edellä olevassa arviossa poisjätetyt termit ja ovat luvun isoilla arvoilla pieniä, voi epäillä, että luku 2 olisi myös pienin yläraja. Olkoon tämän todistamista varten . Etsitään sellainen kokonaisluku , että sitä vastaava olisi suurempi kuin . Tehdään seuraava päättelyketju:

(viimeisin epäyhtälö pätee, koska ). Valitsemalla niin suureksi, että saatu ehto toteutuu, löydetään , jolle . Tällaisen luvun valinta on seurauslauseen 1.3.15 mukaan mahdollista. Yläraja 2 on siten pienin mahdollinen eli .

Opiskelutehtävä 4. (Supremum ja infimum)

Määrää joukolle

, , ja (jos ne ovat olemassa).

Vinkki tehtävään 4