Reaalilukujen täydellisyys

Ei ole matemaattisesti itsestään selvää, että jokaisella reaalilukujoukolla olisi supremum tai infimum. Reaalilukujen erilaisten konstruktioiden (Dedekindin leikkausten tai suppenevien rationaalilukujonojen) avulla voidaan kuitenkin osoittaa, että rajoitetuilla joukoilla nämä ovat olemassa. Oletamme sen tässä kuitenkin annettuna tosiasiana.

Aksiooma 1.3.11. (Reaalilukujen täydellisyysaksiooma)

Jokaisella epätyhjällä, ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on pienin yläraja .

Tarkastelemalla reaalilukujen päinvastaista järjestystä päätellään edellä olevasta aksioomasta seuraava tulos.

Lause 1.3.12.

Jokaisella epätyhjällä, alhaalta rajoitetulla reaalilukujoukolla on suurin alaraja .

Esimerkki 1.3.13.

Joukko on ylhäältä rajoitettu kuten esimerkissä 1.3.7 todettiin. Se ei selvästikään ole tyhjä joukko, joten täydellisyysaksiooman mukaan on olemassa . Itse asiassa . Osoitetaan se, ts. osoitetaan, että luvulle on . Tämä taas voidaan osoittaa kumoamalla ehdot ja .

Koska voidaan olettaa, että . Valitaan avuksi toinen luku

.

Tälle luvulle on

ja

Oletetaan ensin, että . Tällöin , sillä edellisen yhtälön mukaan on . Toisaalta , sillä jälkimmäisen yhtälön mukaan on . Siten ja , mikä on vastoin ehtoa .

Jos taas , niin , sillä nyt , ja toisaalta , sillä nyt . Siten kaikille luvuille , joille , on . Näiden lukujen joukossa ei siten voi olla yhtään joukon alkiota. Tämä on ristiriidassa lauseen 1.3.8 kohdan (2) kanssa.

Molemmissa tapauksissa saadut tulokset ovat siten ristiriidassa sen kanssa, että . Siispä , kun .

Vastaavasti voidaan osoittaa, että .

Tämä esimerkki osoittaa samalla, että rationaalilukujen joukolla ei ole vielä täydellisyysominaisuutta. Rationaalilukujoukolle on nimittäin myös ja toisaalta aikaisemmin esimerkissä 1.3.1 osoitettiin, että ei ole rationaalinen luku. Joukolla ei siten ole rationaalilukua supremumina.