Ylä- ja alaraja sekä supremum ja infimum

Reaalilukujen osajoukoille otetaan käyttöön seuraavat järjestykseen liittyvät nimitykset:

•  Joukolla on ylärajana luku , jos kaikille .

•  Joukolla on alarajana luku , jos kaikille .

•  Joukko on ylhäältä rajoitettu, jos sillä on yksikin yläraja. Vastaavasti se on alhaalta rajoitettu, jos sillä on yksikin alaraja. Joukko on rajoitettu, jos se on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu.

•  Joukolla on suurin alkio , jos se on joukon alkio, joka on kaikkia muita joukon alkioita suurempi (jos niitä on), ts. jos ja kaikille .

•  Joukolla on pienin alkio , jos se on joukon alkio, joka on kaikkia muita joukon alkioita pienempi (jos niitä on), ts. jos ja kaikille .

•  Joukolla on pienin yläraja eli supremum , jos se on joukon ylärajojen muodostaman joukon pienin alkio.

•  Joukon on suurin alaraja eli infimum , jos se on joukon alarajojen muodostaman joukon suurin alkio.

Välttämättä annettuun osajoukkoon ei liity edellä mainittuja alkioita ollenkaan tai sillä ei ole edellä mainittuja (rajoittuneisuus)ominaisuuksia.

Esimerkki 1.3.5.

Luonnollisten lukujen joukko on alhaalta rajoitettu. Alarajaksi kelpaa mikä tahansa negatiivinen luku sekä nolla. Näistä suurin on nolla, joten .

Esimerkki 1.3.6.

Joukon alkioille pätee, että . Jos nimittäin , on ja , joten myös . Joukko on siten rajoitettu (alhaalta luvulla ja ylhäältä luvulla ).

Toisaalta jokainen luku , jolle , toteuttaa ehdon , joten se kuuluu joukkoon . Siten joukossa ovat täsmälleen ne luvut , joille on voimassa ehto . Erityisesti ja .

Esimerkki 1.3.7.

Joukko on ylhäältä rajoitettu luvulla 2. Jos nimittäin , on , joten kaikilla . Onko olemassa pienintä ylärajaa ? Vastaus selviää esimerkissä 1.3.13.

Seuraava huomio auttaa usein pienimmän ylärajan selvittämisessä.

Lause 1.3.8.

Reaalilukujen osajoukolle on täsmälleen silloin, kun

(1)   kaikille ja

(2)  jokaiselle on olemassa jokin , jolle .

Todistus. Oletetaan ensin, että ja osoitetaan, että ehdot (1) ja (2) toteutuvat. Luku on nyt eräs joukon yläraja, joten ehto (1) toteutuu. Jos sitten ehto (2) ei toteutuisi, niin jollekin luvulle olisi mutta ei olisi olemassa lukua , jolle . Tällöin kaikilla olisi , joten myös luku kelpaisi joukon ylärajaksi. Se olisi siten pienempi yläraja kuin vastoin sen määrittelyä. Näin ollen myös ehto (2) toteutuu.

Oletetaan sitten, että luku toteuttaa ehdot (1) ja (2). Silloin ehdon (1) mukaan on yläraja. Pitää osoittaa vielä, että se on niistä pienin. Olkoon sitä varten toinen joukon yläraja. Osoitetaan, että . Jos olisi , olisi ehdon (2) mukaan olemassa jokin , jolle . Mutta silloinhan ei voisi olla joukon yläraja. On siis , mikä osoittaa sen, että pienin joukon ylärajoista.

Kuten todistuksesta ilmenee, edellä olevan lauseen ensimmäinen ehto ilmaisee sen, että luku on joukon yläraja, ja toinen sen, että se on kaikista ylärajoista pienin.

Vastaavasti voidaan todentaa seuraava tulos.

Lause 1.3.9.

Reaalilukujen osajoukolle on täsmälleen silloin, kun

(1)   kaikille ja

(2)  jokaiselle on olemassa joku , jolle .

Edellisten tulosten perusteella havaitaan myös seuraavat tosiasiat.

Lause 1.3.10.

Jos reaalilukujen osajoukolla on suurin alkio , on se samalla pienin yläraja . Vastaavasti, jos reaalilukujen osajoukolla on pienin alkio , on se samalla suurin alaraja .

Opiskeluvideo: S2: Joukon supremum ja infimum