Käännepiste

Piste on funktion käännepiste tai käännekohta, jos toinen derivaatta on olemassa pisteen ympäristössä ja jos toinen derivaatta muuttaa merkkiään pisteen kohdalla. Toista derivaattaa ei kuitenkaan tarvitse olla olemassa pisteessä . Käännepisteen kohdalla funktion kuperuus muuttuu ylöspäin kuperasta alaspäin kuperaksi (kun toinen derivaatta muuttuu negatiivisesta positiiviseksi) tai päinvastoin.

Esimerkki 5.3.6.

Sinifunktiolle toinen derivaatta on nolla pisteissä ja jokaisessa näistä toinen derivaatta muuttaa merkkiään. Ne ovat siis kaikki funktion käännepisteitä (joista kolme on merkitty kuvaan 48).

Kuva 48.

Esimerkki 5.3.7.

Selvitetään funktion käyttäytymistä. Tämä funktio on kaikkialla (ainakin) kahdesti derivoituva. Derivaatta on nolla, kun eli kun tai . Edelleen toinen derivaatta on . Kohdissa on , joten nämä kohdat ovat paikallisia maksimikohtia. Kohdissa on taas , joten nämä kohdat ovat vuorostaan paikallisia minimikohtia.

Toisen derivaatan nollakohdat ovat sen käännepisteitä, sillä näissä kohdissa myös toisen derivaatan merkki vaihtuu. Katso kuva 49.

Kuva 49.

Opiskeluvideo: K3: Funktion käännepisteet ja kuperuus