Kuperuus

Tutkitaan derivoituvan funktion kuvaajaa geometrisesti. Funktion sanotaan olevan alaspäin kupera välillä , jos sen kuvaaja on jokaisen välillä piirretyn tangenttinsa yläpuolella sivuamispistettä lukuunottamatta. Derivoituva funktio on siten alaspäin kupera, jos

aina, kun .

Vastaavasti derivoituva funktio on ylöspäin kupera, jos sen kuvaaja on jokaisen välillä piirretyn tangenttinsa alapuolella sivuamispistettä lukuunottamatta. Funktio f on täten ylöspäin kupera, jos

aina, kun .

Esimerkki 5.3.1.

Funktiolle on

Koska , kun , on funktio alaspäin kupera koko reaalialueella.

Määritelmää helpommin kuperuutta voidaan usein selvittää derivaatan kasvavuuden tai toisen derivaatan merkin avulla.

Lause 5.3.2. (1. kuperuustesti)

Olkoon välillä määritelty jatkuva funktio, joka on derivoituva välin sisäpisteissä.

(a)  Jos derivaatta on aidosti kasvava välin sisäpisteissä, funktio on alaspäin kupera.

(b)  Jos derivaatta on aidosti vähenevä välin sisäpisteissä, funktio on ylöspäin kupera.

Todistus. Olkoon . Differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan on

jollekin pisteelle . Jos on aidosti kasvava, on ja siten

.

Tästä nähdään funktion alaspäin kuperuus välillä . Vastaavasti käsitellään aidosti vähenevä tapaus.

Lause 5.3.3. (2. kuperuustesti)

Olkoon välillä määritelty jatkuva funktio, joka on kahdesti derivoituva välin sisäpisteissä.

(a)  Jos välin sisäpisteissä, funktio on alaspäin kupera.

(b)  Jos välin sisäpisteissä, funktio on ylöspäin kupera.

Todistus. Toisen derivaatan positiivisuudesta (negatiivisuudesta) seuraa ensimmäisen derivaatan aito kasvavuus (vast. vähenevyys), joten väitteet seuraavat tämän jälkeen edellisestä lauseesta.

Esimerkki 5.3.4.

Funktion derivaatta on aidosti kasvava, joten on alaspäin kupera.

Esimerkki 5.3.5.

Sinifunktiolle toinen derivaatta on positiivinen, kun , ja negatiivinen, kun . Sinifunktio on siten alaspäin kupera väleillä ja ylöspäin kupera väleillä . Katso kuvaa 48.