Derivoituvan funktion ääriarvotesti

Derivoituvalle funktiolle voidaan derivaatan avulla tutkia, onko jokin piste mahdollisesti paikallinen ääriarvokohta.

Lause 5.1.1.

Jos piste on funktion paikallinen ääriarvokohta ja jos on derivoituva pisteessä , on .

Todistus. Olkoon väli sellainen pisteen sisältävä väli, että funktio saa sillä välillä globaalin ääriarvon kohdassa . Tämän jälkeen väite todistetaan kuten Rollen lauseessa (lause 4.1.1).

Edellisen lauseen ehto ei ole kuitenkaan riittävä ehto sille, että piste olisi paikallinen ääriarvo. Se antaa vain ehdokkaan paikalliseksi ääriarvokohdaksi.

Esimerkki 5.1.2.

Funktiolle on , kun . Siten nolla on ehdokas paikalliseksi ääriarvokohdaksi. Koska , kun , on nolla paikallinen minimikohta ja samalla globaali minimikohta (ja nolla on funktion pienin arvo).

Esimerkki 5.1.3.

Funktiolle on , kun . Siten nytkin nolla on ehdokas paikalliseksi ääriarvokohdaksi. Koska , kun ja , kun , ei nolla ole kuitenkaan paikallinen ääriarvokohta.

Esimerkki 5.1.4.

Funktio ei ole derivoituva nollassa, mutta silti nolla on sen paikallinen minimikohta ja samalla globaali minimikohta. Paikallisessa ääriarvokohdassa ei siis välttämättä tarvitse derivaattaa olla olemassakaan.

Jos funktio on derivoituva derivaatan nollakohdan ympäristössäkin, voidaan ääriarvon laatu selvittää derivaatan merkistä.

Lause 5.1.5. (1. ääriarvotesti)

Olkoon funktio jatkuva pisteessä ja derivoituva pisteen sisältävällä avoimella välillä , paitsi mahdollisesti pisteessä . Jos derivaatta on erimerkkinen pisteen eri puolilla, on piste funktion paikallinen ääriarvokohta.

Todistus. Olkoon esimerkiksi , kun , ja , kun . Tällöin derivaatan monotonisuustestin perusteella on aidosti kasvava pisteen vasemmalla puolella ja aidosti vähenevä pisteen oikealla puolella (piste kummassakin tapauksessa mukaan lukien). Niinpä on paikallinen maksimikohta.

Vastaavasti selvitetään tilanne, jossa derivaatan merkki muuttuu positiivisesta negatiiviseksi. Tällöin on paikallinen minimikohta.

Huomaa edellä olevan lauseen muotoilussa, että funktiolla ei tarvitse olla derivaattaa itse tarkastelupisteessä , mutta funktion pitää kylläkin olla jatkuva siinä pisteessä. Lauseen tilannetta kuvaavat seuraavat taulukot.

Opiskelutehtävä 27. (Derivoituvan funktion kuvaaja)

Piirrä sellaisen kaikilla reaaliluvuilla määritellyn funktion kuvaaja, joka toteuttaa kaikki seuraavat ehdot

(a)   on derivoituva pisteessä , joka on funktion lokaali minimikohta,

(b)   on jatkuva, mutta ei derivoituva pisteessä , joka on funktion lokaali maksimikohta,

(c)  :n derivaatta pisteessä on nolla, mutta piste ei ole funktion ääriarvokohta,

(d)   on epäjatkuva pisteessä , joka on :n lokaali minimikohta,

(e)   on jatkuva, mutta ei derivoituva pisteessä , joka ei ole funktion lokaali ääriarvokohta,

(f)   on epäjatkuva pisteessä , joka ei ole :n lokaali ääriarvokohta.

Vinkki tehtävään 27

Opiskeluvideo: K1: Funktion ääriarvot