Ääriarvot ja paikalliset ääriarvot

Funktio saa suurimman arvonsa tai maksimiarvonsa pisteessä , jos arvo on kaikista funktion saamista arvoista suurin ts. jos kaikilla . Vastaavasti funktio saa pienimmän arvonsa tai minimiarvonsa pisteessä , jos arvo on kaikista funktion saamista arvoista pienin. Suurin ja pienin arvo muodostavat funktion ääriarvot, ja ne kohdat , joissa nämä arvot saavutetaan, ovat funktion ääriarvokohdat.

Funktio ei välttämättä saa suurinta tai pienintä arvoaan. Esimerkiksi funktiolla ei ole suurinta eikä pienintä arvoa, ei edes positiivisille luvuille rajoitettuna. Funktio

taas saa suurimman arvonsa 1 pisteessä , mutta sillä ei ole pienintä arvoa. Funktio vuorostaan saa pienimmän arvonsa 0 pisteessä , mutta sillä ei ole suurinta arvoa.

Jos funktio on jatkuva suljetulla välillä, se saa Weierstrassin lauseen mukaan sillä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa. Lause ei kuitenkaan anna käytännön keinoa näitten ääriarvojen määräämiseen. Epäjatkuva funktio voi esimerkiksi saada ääriarvonsa epäjatkuvuuspisteissä. Derivoituvalle funktiolle voidaan kuitenkin mahdollisia ääriarvokohtia etsiä derivaatan avulla.

Yleistämme ääriarvokäsitteen rajoittumafunktioille eli tilanteesen, jossa funktion tarkastelu rajataan jollekin määrittelyjoukon osavälille.

Piste on funktion paikallinen maksimikohta, jos on olemassa jokin pisteen sisältävä avoin väli , jolla arvo on suurin funktion saama arvo ts. kaikilla . Arvo on tällöin paikallinen maksimi. Vastaavasti piste on funktion paikallinen minimikohta, jos on olemassa sellainen pisteen sisältävä avoin väli , jolla arvo on pienin funktion saama arvo ts. kaikilla . Arvo on tällöin paikallinen minimi. Paikalliset maksimi- ja minimikohdat ovat yhteisnimitykseltään paikallisia eli lokaaleja ääriarvokohtia ja niitä vastaavat funktion arvot paikallisia eli lokaaleja ääriarvoja. Huomaa, että paikallinen ääriarvokohta voi olla myös suljetun välin reunapiste, mikäli funktiota ei ole määritelty reunapisteen toisella puolella. Ääritapauksessa ääriarvokohta voi olla määrittelyjoukon erillinen piste.

Paikallisen ääriarvon ei tarvitse olla funktion suurin tai pienin arvo, mutta suurin ja pienin arvo ovat aina myös paikallisia ääriarvoja. Funktion suurinta ja pienintä arvoa sanotaan myös globaaleiksi ääriarvoiksi. Funktiolla on siten paikallinen ääriarvokohta jossain pisteessä, jos se on jollakin tämän pisteen sisältävällä välillä rajoittumafunktion globaali ääriarvokohta.