[Etusivu] [Sisältö] [Luku I II III IV V VI] [Hakemisto]
[Ylempi pääsivu] [Edellinen sivu] [Seuraava sivu]

Käänteiskuvauksen derivoituvuus

Seuraavaksi tarkastelemme derivoituvuuden periytymistä käänteisfunktiolle.

Lause 4.4.3. (Käänteiskuvauksen derivoituvuus)

Olkoon funktio derivoituva avoimella välillä sekä sen derivaatta joko positiivinen koko välillä tai negatiivinen koko välillä . Tällöin käänteiskuvaus on derivoituva avoimella välillä . Lisäksi derivaatalle pätee lauseke

Todistus. Derivoituvana funktiona on jatkuva ja derivaatan positiivisuudesta (tai negatiivisuudesta) seuraa funktion aito monotonisuus. Edellisen lauseen 4.4.2 mukaan kuvajoukko on väli sekä käänteiskuvaus on aidosti monotoninen ja jatkuva.

Derivoituvuus perustellaan erotusosamäärän kautta. Kun ja , saadaan

Koska on jatkuva, seuraa ehdosta ehto . Siten erotusosamäärällä on raja-arvo

Lause on todistettu.

Edellisen lauseen merkitys on siinä, että käänteisfunktion derivaatan määräämiseksi pisteessä ei tarvitse käänteisfunktion eikä varsinkaan sen derivaatan lauseketta määrätä. Riittää, kun tiedetään minkä pisteen funktio kuvaa kyseiseksi pisteeksi eli milloin .

Opiskelutehtävä 25. (Käänteisfunktion derivaatta)

Määrää funktion , missä , käänteisfunktion derivaatta pisteessä 2 sekä eksplisiittisesti (ratkaisemalla ensin käänteisfunktio), että implisiittisesti (ratkaisematta käänteisfunktiota).

Vinkki tehtävään 25

Esimerkki 4.4.4.

Funktio on polynomina derivoituva kaikkialla ja sen derivaatta on aina positiivinen. On siis olemassa käänteiskuvaus , joka on määritelty kuvajoukossa ja on siellä aidosti kasvava. Mikä on kuvajoukko ? Koska ja , on .

Määrätään käänteisfunktion derivaatta pisteessä . Edellisen lauseen mukaan se on

missä on yhtälön eli yhtälön ratkaisu. Kokeilemalla huomataan, että . Bijektiivisyyden takia muita ratkaisuja ei ole, joten kokeilemalla saatu ratkaisu riittää. Siten

Edellä olevan mukaan pisteessä funktion kuvaajan tangentin yhtälö on

eli

sekä vastaavasti pisteessä käänteisfunktion kuvaajan tangentin yhtälö on

Tarkastellaan vielä funktion kuvaajan toista pistettä . Sille on

Siten pisteessä funktion kuvaajan tangentin yhtälö on ja vastaavasti pisteessä käänteisfunktion kuvaajan tangentin yhtälö on .

Näiden tietojen perusteella voisi käänteiskuvausta hahmotella pisteiden ja lähistöllä. Funktion ja käänteisfunktion kuvaajat on hahmoteltu graafisen laskimen avulla kuvassa . (Joissakin graafisissa laskimissa käänteiskuvauksen kuvaaja saadaan piirrettyä yksinkertaisesti, kun käytetään ehdon sijasta ehtoa . Tämä edellyttää yleensä, että laskin käsittelee muuttujia ja kiinteästi nimettyinä ja että se pystyy piirtämään "peilikuvakuvaajan" eli sellaisen funktion kuvaajan, jossa muuttuja on ilmoitettu muuttujan avulla.)