Käänteisfunktio ja sen jatkuvuus

Tiedämme, että bijektiolla on käänteisfunktio ja sen määrittelee ehto

.

Esimerkiksi funktiolle , kun , yhtälöstä saadaan ratkaisuksi , joten käänteisfunktio on , kun . Yleensä käänteisfunktion argumentiksi vaihdetaan myös . Tämän mukaan edellä on , kun .

Kun tarkastellaan funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajia eli käyriä ja , huomataan, että ne ovat toistensa peilikuvia suoran suhteen, ts. jos piste on funktion kuvaajalla, on piste käänteisfunktion kuvaajalla. Katso kuva 41.

Kuva 41.

On selvää, että jatkuvan funktion on oltava monotoninen, jotta sillä olisi käänteisfunktio. Toisaalta pätee seuraava.

Lause 4.4.1.

Aidosti monotoninen funktio on bijektio lähtöjoukoltaan arvojoukolleen.

Todistus. Jos funktio on aidosti monotoninen, eri pisteiden kuvat ovat aina eri suuria. Siten on injektio. Surjektiivisuus seuraa maalijoukon rajaamisesta arvojoukoksi.

Jos funktio on monotonisuuden lisäksi jatkuva tai peräti derivoituva, voidaan käänteisfunktiosta sanoa enemmän. Tätä käsittelevät seuraavat kaksi tulosta.

Lause 4.4.2. (Käänteiskuvauksen jatkuvuus)

Välillä määritellylle aidosti monotoniselle jatkuvalle funktiolle on kuvajoukko myös väli ja käänteiskuvaus on aidosti monotoninen ja jatkuva (aidosti kasvavan käänteiskuvaus on aidosti kasvava ja aidosti vähenevän käänteiskuvaus on aidosti vähenevä).

Todistus. Olkoon aidosti kasvava (aidosti vähenevälle todistus tehdään vastaavasti). Osoitetaan aluksi, että on myös väli. Olkoot ja . Silloin . Jos nyt , on jatkuvien funktioiden väliarvolauseen mukaan jollekin . Siispä . Täten sisältää kaikkien pisteidensä lisäksi kaikki niiden välipisteetkin eli se on itsekin väli.

Edellisen lauseen 4.4.1 mukaan on olemassa käänteiskuvaus . Osoitetaan se ensin aidosti kasvavaksi. Oletetaan, että näin ei olisi, vaan että olisi olemassa , joille ja . Tällöin funktion aidon kasvavuuden perusteella olisi

eli . Mutta tämähän on ristiriita edellä olevan kanssa. Funktio on siten aidosti kasvava.

Osoitetaan vielä funktion jatkuvuus. Katso sitä varten kuvaa 42.

Kuva 42.

Olkoon ja luku niin pieni, että väli kuuluu väliin . Funktion aidon kasvavuuden perusteella on . Siten on olemassa väli , joka sisältyy väliin . Lisäksi funktion edellä todistetun aidon kasvavuuden perusteella on . Funktion on siten jatkuva.

Opiskeluvideo: D9: Käänteisfunktion olemassaolo