Derivoituvan funktion monotonisuustesti

Edellisessä esimerkissä funktion monotonisuus voitiin selvittää ratkaisemalla monotonisuuden ilmaiseva epäyhtälö algebrallisesti. Aina ei kuitenkaan näin voi tehdä. Jos funktio on derivoituva, voidaan derivaattaa käyttää monotonisuuden selvittämiseen.

Lause 4.3.2. (Derivoituvan funktion monotonisuustesti)

Oletetaan, että funktio on jatkuva suljetulla välillä ja derivoituva avoimella välillä . Tällöin pätevät seuraavat.

(a)  Jos kaikilla , on kasvava välillä .

(b)  Jos kaikilla , on aidosti kasvava välillä .

(c)  Jos kaikilla , on vähenevä välillä .

(d)  Jos kaikilla , on aidosti vähenevä välillä .

Todistus. Olkoot ja välin pisteitä, ja olkoon . Silloin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella on

jollakin . Soveltamalla kussakin kohdassa oletusta derivaatan arvoon saadaan väitteet.

Esimerkki 4.3.3.

Funktiolle on aina, joten on koko reaalialueella kasvava. Lisäksi , kun . Tämän perusteella ei voi kuitenkaan vielä päätellä funktion aitoa kasvavuutta koko reaalialueella. Mutta edellä olevaa testiä voidaan käyttää väleillä ja , joten näillä väleillä on aidosti kasvava. Yhdistämällä nämä tietoudet saadaan aidosti kasvavaksi koko reaalialueella.

Esimerkki 4.3.4.

Tarkastellaan funktiota välillä . Funktio on kaikkialla derivoituva ja . Tästä näkyy, että tarkasteluvälillä on , kun tai kun , ja toisaalta , kun . Siten on aidosti kasvava väleillä ja sekä aidosti vähenevä välillä . Koko välillä funktio on siten paloittain aidosti monotoninen.

Esimerkki 4.3.5.

Monotonisuutta voi käyttää funktion nollakohtien lukumäärän selvittämiseen. Tarkastellaan sitä varten funktiota . Tämä polynomi on itse asiassa sellainen, että sen juurille ei ole olemassa mitään juurenotoin ja rationaalisin laskutoimituksin ilmaistavaa lauseketta. Toki juurille voidaan löytää likiarvoja. Tässä selvitämme vain juurien lukumäärän.

Funktion derivaatta on ja tämän nollakohdat ovat . Jos tai , on , joten on aidosti kasvava väleillä ja . Jos , on derivaatta negatiivinen ja siten on aidosti vähenevä välillä . Funktiolla on siis kolme monotonisuusväliä. Kullakin monotonisuusvälillä funktiolla voi olla vain yksi nollakohta, joten koko funktiolla voi olla korkeintaan kolme nollakohtaa.

Selvitetään sitten muuttaako funktio merkkiään kyseisillä monotonisuusväleillä. Koska esimerkiksi

, , , ja ,

vaihtaa merkkiään jokaisella monotonisuusvälillään ja siten Bolzanon lauseen mukaan funktiolla on nollakohta kullakin väleistä , ja . Funktiolla on siis täsmälleen kolme nollakohtaa. Nollakohtien likiarvot ovat −1,54, 0,20 ja 1,44. Katso kuva 40.

Kuva 40.

Opiskeluvideo: D7: Nollakohtien lukumäärä