Monotonisuus

Tässä pykälässä tarkastellaan funktion kuvaajan nousevuutta ja laskevuutta ja sen selvittämistä derivaatan avulla.

Olkoon funktio määritelty välillä . Funktio on

•  kasvava välillä , jos ehdosta seuraa aina, että ,

•  aidosti kasvava välillä , jos ehdosta seuraa aina, että ,

•  vähenevä välillä , jos ehdosta seuraa aina, että ,

•  aidosti vähenevä välillä , jos ehdosta seuraa aina, että .

Yllä olevien ehtojen täytyy siis päteä kaikilla . Kasvavaa funktiota sanotaan myös nousevaksi ja vähenevää vastaavasti laskevaksi. Nämä nimitykset tulevat funktion kuvaajan nousevuudesta ja laskevuudesta.

Esimerkki 4.3.1.

Tarkastellaan funktiota . Olkoon ja lasketaan funktion arvojen erotukseksi

Tässä ensimmäinen tulon termi on positiivinen. Toinen tulon termi on neliöiden summana ainakin epänegatiivinen, mutta summaa tarkemmin tarkasteltaessa huomataan, että tämä on nolla vain jos . Siten , kun . Funktio on näin ollen aidosti kasvava koko reaalilukualueella.

Funktiota, joka on joko kasvava tai vähenevä, sanotaan monotoniseksi. Vastaavasti aidosti vähenevää ja aidosti kasvavaa funktiota sanotaan aidosti monotoniseksi. Funktio on paloittain (aidosti) monotoninen välillä , jos väli voidaan jakaa äärelliseen määrään osavälejä, joilla kullakin funktio on (aidosti) monotoninen.