Vektoritulo kolmiulotteisessa avaruudessa

Avaruudessa (ja vain siinä!) voidaan tuottaa yksi lisäoperaatio vektoreille, jonka avulla saadaan ratkaistua eräitä ortogonaalisuuteen ja muitakin geometriaan liittyviä kysymyksiä.

Muodostetaan vektoreille ja vektori , missä

Vektori on vektoreiden ja vektoritulo (tai ristitulo), merkitään . Muodollisesti se saadaan seuraavalla tavalla determinantista

kun käytetään determinantin kehityssääntöä (ikäänkuin vektorit olisivat lukuja) ensimmäisen rivin suhteen ja merkitään muodostettavat alideterminantit luonnollisten kantavektorien kertoimiksi.

Esimerkki 10.7.

Vektoreille ja on

Seuraavassa on nippu vektoritulon ominaisuuksia. Ne kaikki ovat periaatteessa helppoja todistaa laskemalla, mutta todistukset sivuutetaan tässä.

Lause 10.8.

Avaruuden vektoreille , ja pätevät seuraavat:

(1) ja ovat lineaarisesti riippuvat,

(2) ja ,

(3) ,

(4) kaikilla ,

(5) ,

(6) ,

(7) , kun on vektorien ja välinen kulma,

(8) (ns. skalaarikolmitulo).

Vektorit , ja muodostavat aina ns. oikean käden systeemin eli ne suuntautuvat avaruudessa kuten oikean käden peukalo, etusormi ja keskisormi. Lisäksi kohdan (7) mukaan vektorin pituus on vektorien ja virittämän suunnikkaan ala.

Esimerkki 10.9.

Esimerkissä 10.7 laskettiin vektoreiden ja vektorituloksi . Sisätulon avulla nähdään heti, että saatu vektori on todella kohtisuorassa kumpaakin vektoria vastaan. Sen lisäksi tiedetään nyt, että vektorien ja virittämän suunnikkaan ala on sama kuin vektorin pituus .

Opiskelutehtävä 40

Määrää avaruuteen ortonormaali kanta, jonka yksi vektori on vektorin suuntainen.

Vinkki tehtävään 40

[Lähetä palautettta]