Esimerkki 8.1.

Tarkastellaan esimerkin 7.2 lineaarikuvauksia , , ja , . Luonnollisissa kannoissa niitä vastaavat matriisit

ja

.

Yhdistetty kuvaus on silloin lineaarikuvaus, jolle

.

Tason luonnollisessa kannassa sitä vastaa siten matriisi

.

Tämän esimerkin tapauksessa myös yhdistetty kuvaus on määritelty. Sen lauseke on

 

joten avaruuden luonnollisessa kannassa sitä vastaa matriisi

.

Herää varmasti kysymys, voitaisiinko matriisit ja jotenkin määrätä matriiseista ja . Mutta miten sen voisi tehdä?

 

Olkoot nyt yleisesti ja (mahdollisesti eri avaruuksien välisiä) lineaarikuvauksia sekä ja niitä vastaavat - ja -matriisit. Yhdistetty kuvaus on silloin määritelty. Aikaisemmin todetun lauseen 6.9 mukaan se on edelleen lineaarikuvaus. Selvitetään nyt, millainen matriisi sitä vastaava matriisi on.

Tätä varten on selvitettävä kantavektorien kuvien koordinaatit. Määrätään ensin ensimmäisen kantavektorin kuva . Koska

,

on

 

Lineaarikuvausta vastaavan matriisin ensimmäinen sarake saadaan siten kertomalla matriisilla matriisin ensimmäisen sarakkeen vektori.

Voidaan todeta, että vastaavasti menetellen saadaan muutkin matriisin sarakkeet. Ne muodostetaan siis kertomalla matriisilla vuoron perään matriisin sarakkeet. Sanotaankin, että koko matriisi on matriisien ja tulo ja merkitään, että

.

Yllä on todistettu seuraava tulos.

Lause 8.2.

Lineaarikuvauksille ja on

.

Matriiseja voidaan kertoa keskenään ilman, että ne olisi valmiiksi liitetty lineaarikuvauksiin. Huomaa kuitenkin, että matriisitulo on määritelty vain, kun matriisin sarakkeita on täsmälleen yhtä monta kuin matriisissa on rivejä:

 

Tästä näkyy samalla, että tulomatriisissa on yhtä monta riviä kuin matriisissa ja yhtä monta saraketta kuin matriisissa .

Esimerkki 8.3.

Matriiseista

 

ja

 

matriisi on tyyppiä ja matriisi tyyppiä , joten tulomatriisi on olemassa ja on tyyppiä . Tulomatriisi on

.

Toisaalta on tyyppiä ja tyyppiä , joten myös tulo on olemassa, on tyyppiä ja on

.

 

Edellä olevasta esimerkistä näkyy, että matriisituloille ei päde vaihdannaisuus (eli kommutatiivisuus) eli että tulon järjestystä ei voi yleensä vaihtaa. Esimerkin tapauksessa tulomatriisit ovat aivan eri kokoisetkin. Vaikka tulot olisivat samankokoisiakin, eivät ne silloinkaan ole yleensä täysin samoja. On myös täysin mahdollista, että annetuille matriiseille vain toinen tuloista on ylipäätään määritelty. Näin on esimerkiksi, jos ensimmäinen matriisi on tyyppiä ja toinen tyyppiä . Nämä matriisit voidaan kertoa mainitussa järjestyksessä (  kertaa  ), mutta ei päinvastaisessa järjestyksessä (  kertaa  ).

Opiskelutehtävä 29

Keksi kaksi sellaista -matriisia ja , että .

Vinkki tehtävään 29

Esimerkki 8.4.

Edellä esimerkeissä 7.2 ja 8.1 todettiin, että lineaarikuvauksia , , ja , vastaavat luonnollisissa kannoissa matriisit

 

ja

.

Yhdistettyä kuvausta vastaa siten matriisi

.

Saatiin sama matriisi kuin esimerkissä 8.1. Lisäksi tuloksesta nähdään, että .

Myös yhdistettyä kuvausta vastaa sama matriisi kuin mainitussa esimerkissäkin laskettiin:

.

 

Esimerkki 8.5.

Venytys ja vinoutus -esimerkissä 6.4 venytys oli kuvaus , jolle

,

ja vinoutus taas kuvaus , jolle

.

Näistä yhdistämällä saatu venytys ja vinoutus oli edelleen yhdistetty kuvaus , jolle . Näitä kolmea lineaarikuvausta vastaavat matriisit

,

 

ja

.

Toisaalta pätee - kuten pitääkin -

.

 

Seuraavassa on matriiseille eräitä laskusääntöjä, jotka on periaatteessa helppo todeta muodostamalla esiintyvien matriisien alkiot. Sivuutetaan näiden varsin suoraviivaiset, mutta osin pitkähköt, todistukset tässä. Merkki edustaa nollamatriisia, jonka kaikki luvut ovat nollia, ja yksikkömatriisia, joka vastaa identtistä kuvausta ja jossa siten on ykköset paikoissa ja nollat muualla.

Lause 8.6.

Kun matriisien , ja tyypit ovat kussakin tapauksessa sellaiset, että alla esiintyvät laskutoimitukset ovat määriteltyjä, seuraavat säännöt pätevät.

(1)   ,

(2)   ,

(3)   ,

(4)   kaikilla ,

(5)   ja ,

(6)   ja .

Aikaisemmin esimerkin 8.3 jälkeen huomautettiin siitä, että matriisitulo ei ole vaihdannainen operaatio. Huomaa myös, että matriisitulo voi olla nollamatriisi ilman, että kumpikaan tekijöistä on nollamatriisi. Tällaisen tilanteen antavat esimerkiksi matriisit

 

ja

,

joille

.

Opiskelutehtävä 30

Keksi matriisille

sellainen matriisi , että .

Vinkki tehtävään 30