kahdelle vektorille voidaan määrätä ensimmäisen projektio toiselle eli löytää toisen suuntainen vektori, jonka kärkipiste on mahdollisimman lähellä ensimmäisen kärkipistettä.
Selvitetään seuraavassa, miten avaruuden kahdelle vektorille voidaan määrätä ensimmäisen projektio toiselle eli löytää toisen suuntainen vektori, jonka kärkipiste on mahdollisimman lähellä ensimmäisen kärkipistettä.
Olkoot 
ja 
tarkasteltavat vektorit. Etsitään vektorin 
suuntaista vektoria 
,
jonka kärkipiste on mahdollisimman lähellä vektorin 
kärkipistettä. Merkitään ensin, että
Vektori 
on siten vektorin 
suuntainen yksikkövektori. Vektorin 
projektiota vektorille 
on siis etsittävä muodossa 
.
Sellainen löydetäänkin asettamalla
Osoitetaan tämän toimivuus. Merkitsemällä 
saadaan, että
joten 
,
missä 
on vektorin 
suuntainen ja 
.
sanotaan vektorin 
projektioksi vektorille 
(tai tarkemmin sen suuntaiselle suoralle).
Vektorin 
pituus ilmoittaa vektorin 
(kärkipisteen) etäisyyden vektorin 
määräämästä suorasta 
.
Projektion avulla nähdään edelleen, miten vektoreiden välinen kulma määräytyy, sillä nyt
(merkki määräytyy sen mukaan, onko kulma terävä vai tylppä). Saatiin siis se kaava, jolla kulma aikaisemmin määriteltiinkin.
Määrätään tasossa ensin vektorin 
projektio vektorille 
.
Koska 
,
niin 
.
Edelleen 
,
joten kysytty projektio on
Tätä projektiota vastaan kohtisuora vektori on
Tämän vektorin pituus 
on vektorin 
(kärkipisteen) etäisyys vektorin 
määräämästä suorasta. Vektoreiden 
ja 
väliselle kulmalle 
on edelleen voimassa, että
joten 
.
Piirrä kuva tilanteesta ruutupaperille!
Vektorin projektio voidaan yleisemmin määritellä vektorin sijasta kyllä aliavaruuksillekin. Selvitetään se lähemmin vain 2-ulotteisille aliavaruuksille eli tasoille.
Olkoot 
ja 
kaksi lineaarisesti riippumatonta avaruuden 
vektoria, jolloin ne virittävät avaruudessa kaksiulotteisen aliavaruuden eli tason 
.
Projektion laskemista varten määrätään ensin kyseiseen tasoon ortonormaali kanta seuraavasti.
Valitaan ensimmäiseksi vektoriksi
jolloin se on vektorin 
suuntainen yksikkövektori.
Määrätään sitten vektorin 
projektion avulla vektori
Silloin 
ja toisaalta vektorit 
ja 
määräävät saman tason kuin 
ja 
,
sillä näiden lineaarikombinaatiot antavat selvästi samat vektorit. Valitsemalla lopuksi
saadaan kyseiselle tasolle 
ortonormaali kanta 
.
Vektorin 
projektio
tasolle 
saadaan nyt lausekkeesta
Silloin erotusvektori 
on todella koko tasoa 
vastaan kohtisuorassa, sillä
Koko tasoa vastaan kohtisuoruutta varten riittää nimittäin kohtisuoruuden lineaarisuuden takia todeta kohtisuoruus tason virittäjävektoreita vastaan.
Vektorin 
pituus ilmoittaa vektorin 
(kärkipisteen) etäisyyden tasosta 
.
Huomaa, että projektion kaavan käytössä on olennaista, että 
on kyseisen tason ortonormaali kanta.
(a) kahden koordinaattiakselin määräämälle tasolle (Huom! Tästä tulee 3 eri tapausta) ja
(b) tasolle 
eli sille tasolle jonka virittävät esimerkiksi vektorit 
ja 
.
,
.
.
.
.
,
,
.
.
projektio