Harjoitustehtäviä

1.   Ilmoita kaikki ne tason vektorit , jotka ovat kohtisuorassa vektoria vastaan.

2.   Laske vektorien ja pituudet sekä niiden etäisyys ja välinen kulma.

3.   Osoita, että vektorit , , ja muodostavat avaruuden kannan. Mieti erilaisia todistustapoja väitteelle. Miten saisit sen perusteltua mahdollisimman helposti?

4.   Täydennä vektorit , avaruuden kannaksi. Mieti erilaisia täydennysvaihtoehtoja. Miten saisit sen tehtyä mahdollisimman helposti?

5.   Selvitä, mitkä seuraavista vektoripareista ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

(a) , ,

(b) , ,

(c) , .

Määrää edelleen kaikille vektoripareille niiden (kärkipisteiden) etäisyydet.

6.   Millä luvun arvoilla vektorit ja

(a) ovat samansuuntaiset,

(b) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan,

(c) muodostavat keskenään 45 asteen kulman?

7.   Muodosta avaruuteen jokin sellainen ortogonaalinen kanta, jonka ensimmäinen kantavektori on vektorin suuntainen. Muokkaa siitä edelleen ortonormaali kanta.

8.   Määrää avaruuden pisteen etäisyys ehdon (  mielivaltainen) määräämästä tasosta (eli tasosta, jonka pisteillä toiset ja kolmannet koordinaatit yhtyvät).

9.   Avaruuden aliavaruudelle ns. ortogonaalinen aliavaruus on joukko

.

Todista, että tämä joukko on todella aliavaruus. (Tee tämä osoittamalla, että se sisältää vektoriensa lineaarikombinaatiot. Tähän taas riittää, että se sisältää vektoriensa summat ja monikerrat.)