Lause 4.18.

Jos vektorijoukko on avaruuden kanta, kukin vektori voidaan esittää yksikäsitteisesti niiden lineaarikombinaationa eli muodossa

.

Todistus. Koska oletuksen mukaan , kyseisiä esityksiä on aina olemassa. Olkoon sitten vektorilla myös toinen esitys

.

Silloin saadaan, että

 

Koska vektorit , , ..., ovat lineaarisesti riippumattomat, yllä saadussa yhtälössä niiden kertoimet ovat kaikki nollia. Siten , , ..., . Vektorin esitykset ovat näin ollen samat.

 

Edellä mainittu esitys

 

on vektorin koordinaattiesitys kannassa ja luvut , , ..., ovat sen koordinaatit tässä kannassa.

Esimerkki 4.19.

Oletetaan, että on jokin - mikä tahansa - tason kanta.

(a) Osoitetaan ensin, että myös vektorit ja muodostavat aina kannan. Koska vektoreita ja on kaksi ja tason dimensio on myös kaksi, riittää osoittaa, että ne ovat lineaarisesti riippumattomat:

 

Tässä päättelyssä käytettiin olennaisesti hyväksi sitä tietoa, että kantavektoreina vektorit ja ovat lineaarisesti riippumattomia ja siten niiden lineaarikombinaatio on nolla vain, jos niiden kertoimet ovat molemmat nollia. Yllä tätä sovellettiin kertoimiin ja . Tuloksen mukaan vektorit ja ovat lineaarisesti riippumattomat ja muodostavat tason kannan.

(b) Tarkastellaan sitten vektoria . Sen koordinaatit kannassa ovat tietenkin 1 ja 5. Mutta mitkä sen koordinaatit ovat kannassa ? Ratkaistaan nämä, olkoot ne ja , seuraavasti:

 

Kysytyt koordinaatit ovat siis 3 ja -1 ja vektorilla on sen mukaan esitys .

(c) Konkreettina esimerkkinä tilanne on alla olevassa kuvassa erikseen kuvattu tason vektoreille ja . Etsi kuvasta kaikki yllä mainitut koordinaattivektorit ja tarkista niiden toimivuus!

 

Yllä oleva esimerkki osoittaa, että eri kannoissa koordinaatit voivat muuttua hyvinkin paljon ja että niiden määräämiseksi joudutaan jo kaksiulotteisessa tapauksessa tekemään jonkun verran työtä eikä tuloskaan näytä mitenkään helposti olevan ennakoitavissa. Myöhemmin, lineaarikuvausten ja matriisien käsittelyn jälkeen luvussa 9, johdetaan koordinaattien riippuvuuksille kuitenkin selkeämpiä sääntöjä.

Opiskelutehtävä 11

(a)  Osoita, että vektorit , ja muodostavat avaruuden kannan.

(b)  Määrää vektorin koordinaatit tässä kannassa

Vinkki tehtävään 11