Harjoitustehtäviä

1.   Keksi esimerkkejä sellaisista vektoreista , ja , jotka ovat lineaarisesti riippuvat, mutta joista ei ole vektorien ja lineaarikombinaatio.

2.   Tarkastele vektoreita , ja . Osoita, että näistä vektori voidaan esittää muiden vektoreiden (eli nyt siis vektoreiden ja  ) lineaarikombinaationa. Voidaanko sama tehdä vektorille tai vektorille ?

3.   (a) Ovatko vektorit , ja lineaarisesti riippumattomat?

(b) Esitä vektori ainakin kolmella eri tavalla vektoreiden , ja lineaarikombinaationa. Miksi tämä on mahdollista?

4.   Osoita, että vektorit , , ja ovat lineaarisesti riippumattomat. Voitko lisätä listaan vielä yhden vektorin niin, että koko vektorijoukko pysyy lineaarisesti riippumattomana?

5.   (a) Olkoot kolmion kärkinä origo ja lineaarisesti riippumattomien vektoreiden ja päätepisteet ja . Lausu kolmion kaikki mediaanit (eli kärjen ja vastakkaisen sivun keskipisteen yhdistävät janat) vektoreiden ja avulla.

(b) Osoita edellisen kohdan avulla, että kolmion mediaanit leikkaavat toisensa samassa pisteessä.

6.   Valittavanasi on seuraavat kuusi vektoria: , , , , ja . Valitsemalla näitä vektoreita muodosta (ilman mitään lineaarikombinaatioita) jokin avaruuden kanta ja osoita se sellaiseksi. Kokeile erilaisia valintoja.

7.   Täydennä vektorit ja avaruuden kannaksi, ts. keksi tarpeellinen määrä lisävektoreita niin, että ne yhdessä vektoreiden ja kanssa muodostavat avaruuden kannan. Perustele mahdollisimman lyhyesti valintasi. Mieti myös, oletko löytänyt 'helpoimman' valinnan.