Implisiittifunktion derivointi

Implisiittiehto voi määritellä tarkasteltavan pisteen lähistöllä jonkin derivoituvan funktion kuvaajan. Sen selvittäminen, milloin näin tapahtuu, kuuluu useamman muuttujan funktioiden teoriaan, ja sivuutetaan siksi tässä. Jos derivoituva ratkaisu on olemassa, voidaan funktion derivaatta tässä pisteessä joskus laskea ratkaisematta itse funktion lauseketta. Seuraavat esimerkit valaisevat tilannetta.

Esimerkki 3.4.6.

Tarkastellaan esimerkin 3.4.4 yhtälöä jonkin pisteen lähistöllä. Kun yhtälöön sijoitetaan esimerkiksi , nähdään, että . Tarkastellaankin yhtälöä pisteen lähistöllä. Oletetaan nyt (tietämättä eksplisiittistä ratkaisua!), että tarkasteltava yhtälö määrittelee jollain pisteen sisältävällä välillä derivoituvan funktion . (Esimerkin 3.4.4 eksplisiittisestä ratkaisusta näkee, että näin todella onkin.) Silloin yhtälö toteutuu, kun siihen sijoitetaan , eli kun

.

Derivoimalla tämän yhtälön eri puolet erikseen saadaan yhtälö

.

Huomaa, että lauseke piti derivoida tulon derivoimissäännöllä: . Sijoittamalla saatuun yhtälöön saadaan yhtälö

,

mistä ehto huomioiden saadaan yhtälö

.

Tästä nähdään, että . Sen lisäksi, että mahdollinen ratkaisukäyrä kulkee pisteen kautta, tiedämme nyt myös, että siinä pisteessä ratkaisukäyrän tangentin kulmakerroin on 15. On huomattava, että tämän tiedon selvittämiseen ei edellä ole tarvittu eksplisiittistä ratkaisua.

Vertaillaan vielä tulosta esimerkistä 3.4.4 suoraan saatavaan tulokseen. Edellä olevan ratkaisuketjun kolmanneksi viimeisestä yhtälöstä voidaan nimittäin yleisesti ratkaista derivaatan lausekkeeksi

Kun siihen sijoitetaan esimerkissä 3.4.4 ratkaistu funktion lauseke

saadaan derivaatalle lauseke

Sama tulos saadaan tietenkin derivoimalla suoraan funktion lauseke. Joka tapauksessa tämänkin mukaan .

Edellisessä esimerkissä tehtyä menettelyä, jossa funktion implisiittisesti määrittelevä yhtälö derivoidaan ennen funktion tai sen derivaatan ratkaisemista, sanotaan implisiittiseksi derivoinniksi. Menettelyn etuna on se, että funktion lauseketta ei tarvitse (varsinkaan jos sitä ei voi) ratkaista ja silti ratkaisufunktion derivaatta pystytään usein selvittämään. Derivaatan ja sitä myötä tangentin avulla pystytään edelleen arvioimaan ratkaisukäyrän kulkua tarkastelupisteen lähistöllä.

Esimerkki 3.4.7.

Määrätään yhtälön määräämän funktion kuvaajan tangentti pisteessä . Huomaa, että muuttujaa olisi vaikea eksplisiittisesti ratkaista annetusta yhtälöstä.

Ensinnäkin todetaan, että piste toteuttaa annetun yhtälön: . Oletetaan sitten, että derivoituva funktio toteuttaa annetun yhtälön, jolloin siis

.

Derivoidaan yhtälö implisiittisesti, jolloin saadaan yhtälö

.

Sijoitetaan yhtälöön arvot ja :

.

Tästä saadaan ratkaisuksi . Kysytyn tangentin yhtälö on siten

eli .

Kuvaan 36 on hahmoteltu annetun yhtälön toteuttava ratkaisukäyrä ja edellä laskettu tangentti. Huomaa, että käyrä ei voi selvästikään olla yhden funktion kuvaaja.

Kuva 36.

Annettua yhtälöä edelleen tutkimalla voi huomata, että myös pisteet , ja toteuttavat sen. Toistamalla edellä olevat tarkastelut näiden pisteiden suhteen saadaan näitten pisteitten kautta kulkevat tangentit selville. Tuloksia voi verrata kuvan 36 hahmotelmaan.

Opiskelutehtävä 21. (Implisiittisen funktion derivaatta)

Määrää yhtälön toteuttavan käyrän tangentti pisteessä . (Etsi käyrältä muita pisteitä ja hahmottele käyrää.)

Vinkki tehtävään 21

Opiskeluvideo: D6: Implisiittinen derivointi