Implisiittifunktio

Jatkuvan reaalifunktion kuvaaja on käyrä, joka muodostuu niistä tason pisteistä , joille . Tason käyrämäisiä pistejoukkoja voidaan kuitenkin ilmaista muutenkin kuin funktion kuvaajana. Esimerkiksi yhtälö määrittelee origokeskisen ympyrän, jonka säde on 5. Näitä pisteitä ei voi esittää minkään yhden funktion kuvaajana, koska esimerkiksi arvolle löytyy kaksi arvoa , jotka toteuttavat ympyrän yhtälön. Toki kyseinen ympyrä voidaan esittää kahden eri funktion kuvaajien yhdisteenä: toinen on määritelty lausekkeella ja toinen lausekkeella .

Tarkastellaan yleisesti muotoa

olevia kahdesta muuttujasta muodostuvia lausekkeita, jossa on siis kahden muuttujan funktio. Esimerkiksi edellä olevalle ympyräkaarelle on . Toisaalta annetulle funktiolle lauseke toteuttaa ehdon funktion kuvaajan pisteissä. Yleisesti sanotaan, että ehto määrittelee tasokäyrän, kun funktio on jatkuva. Se, mitä kahden muuttujan funktion jatkuvuudella tarkoitetaan, on kuitenkin mahdollista selvittää vasta usean muuttujan analyysin yhteydessä. Funktion muodosta ja säännöllisyydestä riippuu kuitenkin, kuinka säännöllinen käyrä ehdosta määräytyy, jos ylipäätään ehdon toteuttavat pisteet liittyvät toisiinsa edes "käyrämäisesti" eli jatkuvasti ja "ohuesti". Välttämättä ei ole edes yhtään annetun ehdon toteuttavaa pistettä olemassa, kuten yhtälön tapauksessa.

Tässä pykälässä oletamme, että ehto määrittelee tarkasteltavan pisteen lähistöllä jonkin funktion kuvaajan. Tarkemmin sanottuna tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa jokin pisteen sisältävä väli ja sillä määritelty funktio niin, että kyseisellä välillä pisteet , ja siten myös piste , toteuttavat ehdon . Tällaisessa tapauksessa sanomme, että ehto määrittelee implisiittisesti eli ratkaisemattomasti funktion . Jos tämä funktio ja varsinkin jos sen lauseke pystytään ratkaisemaan, antaa se eksplisiittisen eli ratkaistun muodon funktiolle.

Esimerkki 3.4.4.

Tarkastellaan yhtälöä . Tästä saadaan muuttuja ratkaistua muodossa

Siten annettu yhtälö määrittelee implisiittisesti funktion , jonka eksplisiittinen muoto on edellä ratkaistu muoto. Huomaa, että ratkaisufunktiota ei ole määritelty yhdessä pisteessä, mitä ei välttämättä huomaa implisiittisestä ehdosta.

Esimerkki 3.4.5.

Yhtälöstä ei muuttujaa voida ratkaista muodossa eli tätä yhtälöä ei voida eksplisiittisesti ratkaista. Voidaan kuitenkin osoittaa, että sillä on esimerkiksi olemassa eräs ratkaisufunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen kautta.