Korkeammat derivaatat

Jollain välillä derivoituvan funktion derivaatta on sillä välillä määritelty funktio . Sen derivoituvuutta voidaan siten edelleen selvittää. Jos on derivoituva, on sen derivaatta alkuperäisen funktion toinen derivaatta (tai toisen kertaluvun derivaatta) ja sitä merkitään tai .

Vastaavasti kolmas derivaatta on toisen derivaatan derivaatta, mikäli sellainen on olemassa.

Esimerkki 3.4.1.

Polynomifunktion derivaatta on polynomina derivoituva, joten toinen derivaatta on olemassa ja .

Edelleen kolmas derivaatta on .

Yleisesti positiiviselle kokonaisluvulle määritellään induktiivisesti, että funktion :s derivaatta (eli :n kertaluvun derivaatta) on edellisen kertaluvun derivaatan derivaatta, mikäli se (ja jokainen edeltävä derivaatta) on olemassa. Induktiivisen määrittelyn aloitukseksi sovitaan, että nollas derivaatta tarkoittaa itse funktiota eli . Derivaatoista käytetään myös merkintöjä

Jos funktiolla on :s derivaatta jollain välillä, sanotaan myös, että on kertaa derivoituva kyseisellä välillä.

Esimerkki 3.4.2.

Funktiolle (missä ) on

,
,
,
, ...

ja yleisesti kertaluvulle on

,

missä on −kertoma. (Tarkka todistus tehdään induktiolla, mutta se sivuutetaan tässä.)

Esimerkki 3.4.3.

Funktiolle on

,
,
,
,

ja siten yleisesti kokonaisluvulle on

,
,
,
.

Edellä olevien esimerkkien funktioilla on siis kaikkien kertalukujen derivaatat olemassa. Sanotaan, että ne ovat äärettömän monta kertaa derivoituvat. Kaikki polynomit ja rationaalifunktiot ovat äärettömän monta kertaa derivoituvia funktioita (polynomit kaikkialla ja rationaalifunktiot määrittelyväleillään).