Raja-arvon jonokarakterisointi

Funktion raja-arvoja voidaan selvittää myös jonojen avulla. Todetaan ensin seuraava tulos.

Lause 2.2.16. (Raja-arvon jonokarakterisointi)

Funktiolla on op. raja-arvo pisteessä täsmälleen silloin, kun kaikille jonoille , joille ja . Vastaava pätee vp. raja-arvolle.

Todistus. Op. raja-arvon olemassaolosta seuraa suoraan määritelmän perusteella kuvattu jono-ominaisuus.

Oletetaan sitten, että funktiolla ei ole op. raja-arvonaan lukua pisteessä . Silloin on olemassa jokin sellainen luku , jolle jokaiselle on olemassa sellainen piste , että vaikka . Tällä tavalla saadaan muodostettua jono , joka suppenee kohti pistettä , mutta jonka arvot eivät suppene kohti arvoa . Näin on saatu aikaan päättely, joka osoittaa, että funktiolla on oltava op. raja-arvo, mikäli oletetaan, että kaikki kohti pistettä suppenevien jonojen kuvajonot suppenevat kohti arvoa .

Edellä olevaa lausetta voidaan käyttää raja-arvojen etsimiseen. Jos esimerkiksi löydetään jokin pistettä kohti suppeneva jono , jolle myös arvot suppenevat, on tämän jonon raja-arvo ainoa ehdokas itse funktionkin raja-arvoksi. Tämä ei kuitenkaan vielä osoita kyseistä lukua raja-arvoksi, vaan se on erikseen yleispätevällä tavalla todistettava. Toisaalta on mahdollista, että löytyy jokin toinen pistettä kohti suppeneva jono , jolle arvot eivät suppene tai suppenevat kohti toista lukua. Tämä osoittaa silloin, että funktiolla ei ole raja-arvoa tarkastelupisteessä.

Esimerkki 2.2.17.

On varsin ilmeistä, että raja-arvoa

ei ole olemassa. Perustellaan se. Etsitään sitä varten nollaan suppenevia jonoja, joiden kuvajonot antavat erilaisia raja-arvoja. Koska

niin

Valitaan tämän mukaisesti jonot ja seuraavasti:

Silloin ja . Toisaalta valinnastamme johtuen

kaikilla , joten näiden vakiojonojen raja-arvotkin ovat +1 ja −1 vastaavasti. Niinpä, jos funktiolla olisi op. raja-arvo nollassa, olisi sen oltava toisaalta +1 ja toisaalta −1. Kyseistä raja-arvoa ei siten ole olemassa. Vastaavasta syystä myöskään vp. raja-arvoa ei ole olemassa.