Sini, kosini, tangentti ja kotangentti

Tarkastellaan tasossa origokeskisen yksikköympyrän pistettä sekä sitä kulmaa , joka muodostuu origosta pisteeseen menevän säteen ja vaaka-akselin väliin (ks. kuva 17).

Kuva 17.

Kulma mitataan yleensä vaaka-akselista vastapäivään (eli positiiviseen suuntaan) laskettuna niin, että oikokulma on astetta (º) eli radiaania (rad). Täysi kulma on siten eli radiaania ja suora kulma on eli radiaania. Siten

Koska yksikköympyrän kaaren pituus on , on kulman suuruus radiaaneissa ilmoitettuna samalla sitä vastaavan yksikköympyrän kaaren pituus. Mm. tästä syystä laskuissa on hyvä käyttää radiaania kulmayksikkönä. Vastakkaiseen suuntaan eli myötäpäivään mitattuna kulma saa vastaavansuuruisen negatiivisen arvon.

Yksikköympyrän pisteen koordinaattien avulla määritellään kulman trigonometriset funktiot sini, kosini, tangentti ja kotangentti seuraavasti:

Huomaa, että tässä , koska piste on yksikköympyrällä.

Havainnollistus: Sini ja kosini

Trigonometrisistä funktioista sini ja kosini tulevat kaikkialla määritellyiksi. Tangentti ja kotangentti ovat taas määriteltyjä vain silloin, kun niiden lausekkeiden nimittäjät − kosini ja sini vastaavasti − ovat nollasta eroavat. Kyseisten funktioiden nollakohdat toistuvat:

,

Trigonometristen funktioiden määrittelyjoukot ovat siten seuraavat:

, ,

.

Trigonometristen funktioiden arvojoukot ovat

ja .

Trigonometrisistä funktioista kosini on parillinen, ts. , ja muut kolme ovat parittomia, ts. ne toteuttavat ehdon kaikissa määrittelypisteissään.

Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia. Funktiota sanotaan jaksolliseksi, jos sille pätee määrittelyjoukossaan, että jollekin nollasta eroavalle vakiolle . Pienintä tällaista positiivista vakiota sanotaan funktion (perus)jaksoksi. Sinin ja kosinin jakso on sekä tangentin ja kotangentin jakso on . Esimerkiksi siis kaikilla .

Huomautettakoon tässä siitä, että nyt annetut trigonometristen funktioiden määrittelyt ovat täysin geometrisia, eivätkä ne anna lausekkeita niille eli ne eivät ilmaise sitä, miten määrittelyissä käytetyt luvut ja riippuvat luvusta . Tällaiset lausekkeet pystytään esittämään vasta sarjateoriassa.

Yksikköympyrän piste voidaan edellä olevan määrittelyn mukaan ilmoittaa keskuskulman avulla koordinaatein . Kääntäen kosinin ja sinin arvot löytyvät siis kulmaa vastaavan yksikköympyrän pisteen koordinaatteina. Tangentin arvo taas löytyy −tasossa origosta pisteeseen menevän säteen jatkeen ja suoran leikkauspisteen pystykoordinaattina ja kotangentin arvo vastaavasti saman säteen ja suoran leikkauspisteen vaakakoordinaattina (ks. kuva 17).

Kuvissa 18 ja 19 ovat trigonometristen funktioiden kuvaajat

Kuva 18. Sinin ja kosinin kuvaajat.

Kuva 19. Tangentin ja kotangentin kuvaajat

Esimerkki 1.6.1.

Suoran kulman ja sen monikertojen lisäksi kulmia , ja käytetään usein esimerkeissä. Niille trigonometristen funktioiden arvot ovat seuraavassa taulukossa.

Opiskelutehtävä 7. (Sinin muuntaminen vakioin)

Piirrä kussakin seuraavista kohdista samaan kuvaan annettujen funktioiden kuvaajat ja määrää niiden perusjaksot.

(a)  , ja .

(b)  , ja .

(c)  , ja .

Miten funktiot , ja eroavat funktiosta ? Entä yleisesti funktio ?

Vinkki tehtävään 7

Havainnollistus: Yksikköympyrä ja trigonometriset funktiot

Laskentapohja: Yksikköympyrä: sini ja kosini

Laskentapohja: Yksikköympyrä-animaatio: sini ja kosini 1

Laskentapohja: Yksikköympyrä-animaatio: sini ja kosini 2

Laskentapohja: Yksikköympyrä-animaatio: tangentti ja kotangentti