Sinin ja kosinin muokkaussääntöjä

Seuraavassa on eräitä muokkaussääntöjä sini- ja kosinifunktioille. Todistukset sivuutamme tässä. Näistä saa vastaavantapaisia sääntöjä tangentille ja kotangentille käyttämällä niiden määrittelyä sinin ja kosinin osamäärinä. Erilaisista taulukkokirjoista löytyy lisää kaavoja. Vanhaan tapaan merkitään esimerkiksi , kun  , ja , kun .

Lause 1.6.2.

(a)   ,

(b)  ,

(c)  ,

(d)  ,

(e)  ,

(f)  ,

(g)  .

Opiskelutehtävä 8. (Sinin ja kosinin ratkaiseminen)

(a)  Ratkaise yhtälö .

(b)  Miten ratkaisisit yhtälön ?

Vinkki tehtävään 8

Seuraavaa arviota tarvitsemme myöhemmin. Huomaa, että radiaaneja on käytettävä kulmayksiköinä aina, kun lausekkeissa on sekä kulmia että niistä muodostettuja (trigonometrisia) funktioita.

Lause 1.6.3.

Kaikille reaaliluvuille on (kun kulma ilmoitetaan radiaaneina).

Todistus. Olkoon ensinnä . Geometrisesti on selvää, että pisteen suora etäisyys vaaka-akselista eli on korkeintaan se matka, joka siitä pisteestä on vaaka-akselille ympyrän kaarta pitkin (ks. kuva 17). Tämä on sama asia kuin väite.

Olkoon sitten . Silloin , joten edellisen tapauksen mukaan

,

mistä väite seuraa.

Jäljelle jäävässä tapauksessa arvio on selvä: .