Tehtävän 10 ratkaisu

a) Määritetään napakoordinaattiesitystä varten kompleksiluvulle ensin moduli :

.

Seuraavaksi määritetään argumentti :

Koska kompleksiluvun reaaliosa ja imaginaariosa ovat molemmat positiivisia, sijaitsee koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä. Täten voidaan päätellä, että argumentti . Tällöin napakoordinaattiesityksenä

Kuva:

b) Lasketaan

,

joten

ja

Koska kompleksiluvun reaaliosa on negatiivinen ja imaginaariosa on positiivinen, niin sijaitsee koordinaatiston toisessa neljänneksessä, joten . Napakoordinaattiesityksenä

Vastaavasti voidaan laskea, että

ja

joten . Napakoordinaattiesityksenä .

Seuraavasssa kuvassa ovat luvut , ja kompleksitasossa.

Kuvassa havainnollistuu samalla de Moivren kaava . Esimerkiksi luvun etäisyys origosta (moduli) on luvun etäisyyden neliö ja luvun argumentti on kaksinkertainen luvun argumenttiin nähden.

c) Tiedetään, että , ja kun a)-kohdan perusteella

niin de Moivren kaavaa hyödyntämällä saadaan

Siten

tai

Kuva:

[Opiskelutehtävä 10] [Vinkki tehtävään 10]