Tehtävän 1 ratkaisu

a) Väite: kun .

Todistus induktiolla:

Väite pätee aloitusluvulle , sillä .

Oletetaan, että väite pätee luvulle .

Seuraavaksi osoitetaan, että väite pätee myös luvulle . Tulee siis näyttää, että .

Tiedetään, että . Oletuksen mukaan ja tällöin neliöjuuren määritelmän mukaan , joten myös .

Nyt on siis osoitettu induktiolla, että esitetty väite pätee kaikille luonnollisille luvuille.

b) Väite: kun .

Todistus induktiolla:

Väite pätee aloitusluvulle , sillä ja , joten .

Oletetaan, että luvulle on .

Seuraavaksi osoitetaan, että väite pätee myös luvulle . Tulee siis näyttää, että .

Tiedetään, että . Oletuksen mukaan . Koska neliöjuurifunktio on aidosti kasvava (eli "neliöjuuri suuremmasta luvusta on suurempi kuin neliöjuuri pienemmästä luvusta"), niin ja tällöin luonnollisesti . Näin ollen on saatu näytettyä, että .

Induktiotodistuksen mukaan väite siis pätee kaikille luonnollisille luvuille.

c) Väite: kun .

Todistus induktiolla:

Väite pätee aloitusluvulle , sillä .

Oletetaan, että luvulle on .

Seuraavaksi osoitetaan, että väite pätee myös luvulle . Tulee siis näyttää, että .

Tiedetään, että . Oletuksen mukaan , joten neliöjuurifunktion aidon kasvavuuden perusteella ja tällöin luonnollisesti . Siten .

Induktiotodistuksen mukaan väite siis pätee kaikille luonnollisille luvuille.

[Opiskelutehtävä 1] [Vinkki tehtävään 1]