Harjoitustehtäviä

5.   Osoita, että luku on luvun käänteisluku.

6.   Osoita, että lausekkeiden ja arvot ovat kaikilla reaaliluvuilla toistensa käänteislukuja.

7.   Millä muuttujan arvoilla luku on luvun käänteisluku?

8.   Osoita, että lukualue on suljettu yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun suhteen ts. kahden tämän muotoisen luvun summa, erotus, tulo ja osamäärä (nollasta eroavalle jakajalle) ovat edelleen tämän muotoisia.

9.   Osoita, että luku ei ole rationaaliluku, olipa mikä tahansa nollasta eroava kokonaisluku.

10.   Määrää jokin kokonaislukukertoiminen polynomi, jolla on juurena luku . (Apu: Määrää ensin luvun neliö. Yritä sitten päästä tulokseen jäävästä neliöjuuresta eroon sopivalla neliöön korottamisella. Tuloksena on neljännen asteen polynomi.)

11.   Osoita, että on muotoa , missä ja ovat rationaalilukuja.

12.   Voiko olla muotoa , missä ja ovat rationaalilukuja?

13.   Osoita, että luku on muotoa , missä ja ovat rationaalilukuja.

14.   Lausu rationaaliluku jaksollisena reaalilukuna. Tee sama luvuille ja . Osoita jokin näistä esityksistä oikeaksi.

15.   Muuta desimaaliluvut ja rationaaliluvuksi.

16.  

(a) Lausu desimaaliluku 1,2030303... murtolukuna.

(b) Konstruoi päättymätön jaksoton desimaaliluku.

17.   Olkoon jaksollinen desimaaliluku, joka on muotoa , missä toistuva jakso on yleisesti kokonaisluku, jolle jollekin potenssille (joka osoittaa luvun numeroiden määrän). Käyttäen geometrisen sarjan summakaavaa osoita, että luku on rationaalinen.

18.   Olkoon reaaliluvulle voimassa epäyhtälö . Osoita, että ja .

19.   Osoita, että , kun .

20.   Muodostetaan reaaliluvulle joukko ja olkoon . Osoita, että .

21.   Selvitä, mikä on joukon supremum. Onko sillä infimumia?

22.   Miksi joukolla

on infimum ja supremum? Määrää luvuista , , ja ne, jotka ovat olemassa.

23.   Olkoon

(a) Osoita, että joukko on rajoitettu.

(b) Määrää ja .

24.   Osoita, että rationaaliluvun ja irrationaaliluvun summa ja (nollasta eroavien) tulo ovat irrationaalillukuja. (Vihje: Muodosta vastaväitteet.)

25.   Osoita, että reaaliluvuille ja , joille , on olemassa irrationaaliluku , jolle . (Apu: Katso lauseen 1.3.17 todistusta ja käytä nyt hyväksi sitä, että . Huomioi lisäksi edellinen harjoitustehtävä ja luvun irrationaalisuus.)