Arkussini- ja kosini

Trigonometriset funktiot sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat kaikki jaksollisia funktioita, joten ne eivät ole bijektioita eikä niillä siten ole käänteisfunktioita. Niillä kaikilla on kuitenkin (peräkkäisiä) välejä, joilla ne ovat monotonisia ja joilla ne saavat jo kaikki mahdolliset arvonsa. Rajaamalla näiden funktioiden määrittelyt sopiville monotonisuusalueille voidaan niille silloin muodostaa käänteisfunktiot. Näitä käänteisfunktioita sanotaan arkusfunktioiksi (tai syklometrisiksi funktioiksi). Seuraavassa käytetyt trigonometristen funktioiden määrittelyalueiden rajaukset ovat yleisimmät, ja niitä sanotaan kyseisten käänteisfunktioiden päähaaroiksi.

Sinifunktio on välille rajoitettuna aidosti kasvava. Tämän rajoittuman käänteisfunktio on arkussini (käytetään myös merkintää ). Siten

Kuvaan 60 on piirretty sinin ja arkussinin kuvaajat (sekä kuvattu käänteisfunktion kuvaajan peilautumista suoran suhteen).

Kuva 60. Sinin ja arkussinin kuvaajat

Esimerkki 6.4.1.

Määrätään aluksi : Koska ja , on .

Entä mitä on ? Se ei ole , sillä , eikä se siten kuulu sinin rajausalueelle. Koska

ja , on .

Määrätään seuraavaksi arkussinin derivaatta. Käänteiskuvauksen derivoimissäännön mukaan arkussini on derivoituva avoimella välillä ja jos , on

Tässä . Rajatulla sinin määrittelyvälillä on kosini positiivinen, joten neliöjuuren etumerkki on valittava positiiviseksi. Koska , on saatu arkussinin derivaatalle kaava

Arkuskosini on kosinifunktion käänteisfunktio, kun kosini rajoitetaan välillä , jolla se on aidosti vähenevä. Siis

.

Arkuskosinin kuvaaja on kuvassa 61.

Kuva 61. Kosinin ja arkuskosinin kuvaajat

Arkuskosini voidaan itse asiassa lausua helposti arkussinin avulla. Jos nimittäin , on ja . Tällöin ja , joten . Näin ollen

Tästä nähdään myös, että arkuskosinin derivaatta on vastakkaismerkkinen arkussinin derivaatalle ts.