Hyperbelifunktiot

Eksponenttifunktion avulla määritellään ns. hyperbelifunktiot eli hyperboliset funktiot. Kun trigonometriset funktiot liittyvät geometrisesti ympyrään, liittyvät heperbelifunktiot vastaavasti (suorakulmaiseen yksikkö-)hyperbeliin. Tätä kuvataan tarkemmin määrittelyjen jälkeen (ks. kuva 58). Kuten trigonometrisia funktioita on hyperbelifunktioitakin neljä ja niiden nimetkin ovat analogiset.

Hyperbelisini on funktio

ja hyperbelikosini on funktio

Molemmat funktiot ovat kaikkialla määriteltyjä. Määrittelystä näkyy, että sinh on pariton ja cosh on parillinen funktio. Kuvassa 57 on näiden funktioiden kuvaajat. Käyrää sanotaan myös ketjukäyräksi, sillä päistään ripustettu ohut homogeeninen ketju riippuu tämän käyrän mukaisesti.

Kuva 57. Hyperbelisinin ja -kosinin kuvaajat

Opiskelutehtävä 37. (Hyperbelisini)

Sievennä .

Vinkki tehtävään 37

Hyperbelifunktioilla on samantapaisia muokkaussääntöjä kuin trigonometrisilla funktioilla. Seuraavassa on eräitä tärkeimpiä.

Lause 6.3.1.

Reaaliluvuille ja ovat seuraavat voimassa.

(a)   ja ,

(b)   ja ,

(c)   ja ,

(d)   ja ,

(e)  .

Todistus. Kohdat (a) ja (b) ovat määrittelyjen perusteella selvät.

Todistetaan sitten kohdan (c) ensimmäinen kaava. Hyperbelisinin ja -kosinin määritelmistä saadaan ratkaistua, että ja . Näiden avulla saadaan nyt, että

Tämän kohdan toinen kaava todistetaan vastaavasti.

Kohdan (d) kaavat saadaan edellä olevista sijoittamalla . Kaava (e) taas saadaan funktion summakaavasta sijoittamalla .

Edellä olevan lauseen viimeisen kohdan mukaan sellaiset tason pisteet , joille ja toteuttavat yhtälön eli ne ovat kyseisellä hyperbelikäyrällä. Tästä nähdään tietty analogia vastaavien trigonometristen funktioiden kanssa. Jos nimittäin ja , on piste yksikköympyrän kaarella. Lisäksi parametrin (kulman) arvolla ympyrästä rajoittuu sektori, jonka pinta-ala on (ks. kuva 58). Voidaan osoittaa, että vastaavasti parametrin (hyperbolisen kulman) arvolla hyperbelin kaarta vastaa sektori, jonka pinta-ala on myös (ks. kuva 58).

Kuva 58. Ympyräkulma ja hyperbolinen kulma

Koska hyperbelisini ja -kosini määritellään eksponenttifunktion avulla, ovat ne kaikkialla derivoituvia. Lisäksi

Edelleen analogisesti trigonometristen funktioiden kanssa määritellään hyperbelitangentti

ja hyperbelikotangentti

Näille funktioille on aina ja .

Hyperbelitangentin ja -kotangentin derivaatat saadaan osamäärän derivoimissäännöillä ja ne ovat

Hyperbelitangentin ja -kotangentin kuvaajat ovat kuvassa 59.

Kuva 59. Hyperbelitangentin ja -kotangentin kuvaajat

Opiskelutehtävä 38. (Hyperbelitangentin raja-arvot)

Määritä raja-arvot

Vinkki tehtävään 38