Luonnollinen logaritmifunktio

Eksponenttifunktio on aidosti kasvava ja kaikkialla derivoituva, jonka arvojoukko on väli . Sillä on siten aidosti kasvava ja kaikkialla derivoituva käänteisfunktio . Tätä sanotaan (luonnolliseksi tai tavalliseksi) logaritmifunktioksi ja merkitään (tai myös ). Siis

.

Erityisesti , , ja yleisesti , kun . Vastaavasti , kun . Seuraavat säännöt periytyvät eksponenttifunktion säännöistä.

Lause 6.2.1.

Kun , ja , niin

(a)  ,

(b)  

(c)  .

(d)  

Todistus. Tyyppiä oleva väite voidaan käänteiskuvauksen avulla todistaa osoittamalla, että . Tämä periaate huomioiden lauseen kolme ensimmäistä väitettä seuraavat laskuista

,

.

Kohdan (d) derivoimissäännön todistusta varten olkoon ensin . Käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan on silloin

Tapaus voidaan palauttaa edelliseen tapaukseen merkin vaihdolla. Todistus jätetään opiskelutehtäväksi (tehtävä 33).

Opiskelutehtävä 33. (Logaritmifunktion derivaatta)

Osoita, että aina, kun .

Vinkki tehtävään 33

Opiskelutehtävä 34. (Logaritmifunktion ääriarvot)

Määrää lausekkeen ääriarvot.

Vinkki tehtävään 34

Opiskelutehtävä 35. (Yhdistetyn logaritmifunktion derivointi)

Määrää .

Vinkki tehtävään 35

Logaritmifunktion ja eksponenttifunktion kuvaajat ovat kuvassa 56.

Kuva 56. Eksponentti- ja logaritmifunktion kuvaajat

Havainnollistus: Logaritmifunktio

Opiskeluvideo: K4: Funktion käyttäytymisen selvittäminen